(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="450" MAYSCRIPT filename="pub/applets/ggbfiler/pythagoras2.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/pythagoras2.png" clickalign="center":)

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="500" MAYSCRIPT filename="pub/applets/ggbfiler/pythagoras2.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/pythagoras2.png" clickalign="center":)

Pythagoras' sætning

Et lidt mere stringent bevis kan gennemføres på følgende måde:

Vi tager igen udgangspunkt i figuren ovenfor og beregner arealet af det store kvadrat på to måder.

Beregning 1: Sidelængden i det store kvadrat er a+b og arealet kan derfor beregnes som: Areal = {$(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + b^2 +2ab$}

Bevis

Først et rent geometrisk bevis for Pythagoras' sætning.

Et lidt mere stringent argument kan

Flytningen af punkterne og dermed de to trekanter har dannet to nye kvadrater, der som det ses har sidelængderne a og b og altså arealerne {$a^2$} og {$b^2$}. Da summen af disse to arealer {$a^2 + b^2$} også er lig med arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter (ligesom det gjaldt for arealet {$c^2$}) må der gælde, at {$a^2 + b^2 = c^2$}

Summen af kateternes kvadrater er lig med kvadratet på hypotenusen

Med standardbetegnelserne - a og b for kateterne og c for hypotenusen - kan det skrives

(:noleft:) (:noheader:) (:notitle:)

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="500" MAYSCRIPT filename="pub/applets/ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

Pythagoras' berømte sætning handler om forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Den siger følgende:

Pythagoras' berømte sætning handler om forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Den siger følgende:

Pythagoras' berømte sætning handler om forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Den siger følgende:

Pythagoras' berømte sætning handler om forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Den siger følgende:

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="500" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

På nedenstående figur ses fire retvinklede trekanter med kateterne a og b og hypotenusen c arrangeret så de danner et kvadrat med sidelængden a+b. I midten er der herved fremkommet et mindre kvadrat med sidelængden c. Arealet af dette kvadrat er derfor {$c^2$}. Arealet {$c^2$} er altså arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter. Klik nu på figuren for at starte appletten og flyt derefter de røde punkter til højre på figuren (der er to oven på hinanden) over på det sorte punkt til venstre (klik på punkterne for at gribe fat i dem).

Flytningen af punkterne og dermed de to trekanter har dannet to nye kvadrater, der som det ses har sidelængderne a og b og altså arealerne {$a^2$} og {$b^2$}. Da summen af disse to arealer {$a^2 + b^2$} også er lig med arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter (ligesom det gjaldt for arealet {$c^2$}) må der gælde, at {$a^2 + b^2 = c^2$}

Med standardbetegnelserne - a og b for kateterne og c for hypotenusen - kan det altså skrives

I en retvinklet trekant gælder:

Med standardbetegnelserne - a og b er kateterne og c er hypotenusen - kan det altså skrives

Her er et rent geometrisk bevis for Pythagoras' sætning.

På nedenstående figur ses fire retvinklede trekanter med kateterne a og b og hypotenusen c arrangeret så de danner et kvadrat med sidelængden a+b. I midten er der herved fremkommet et mindre kvadrat med sidelængden c. Arealet af dette kvadrat er derfor {$c^2$}. Arealet {$c^2$} er altså arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter. Klik nu på figuren for at starte appletten og flyt derefter de røde punkter til højre på figuren (der er to oven på hinanden) over på det sorte punkt til venstre (dobbeltklik på punkterne for at gribe fat i dem).

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="450" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

Flytningen af punkterne og dermed de to trekanter har dannet to nye kvadrater, der som det ses har sidelængderne a og b og altså arealerne {$a^2$} og {$b^2$}. Da summen af disse to arealer {$a^2 + b^2$} også er lig med arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter (ligesom det gjaldt for arealet {$c^2$} må der gælde, at {$a^2 + b^2 = c^2$}

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:)

(:tableend:)

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="450" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="430" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="412" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/Pythagoras.png" clickalign="center":)

{$$a^2 + b^2 = c^2$$}

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./" archive="geogebra.jar" width="584" height="412" MAYSCRIPT filename="ggbfiler/pythagoras.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/pythagoras.png" clickalign="center":)

Pythagoras

Pythagoras' berømte sætning siger følgende:

I en retvinklet trekant gælder:

Summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen

Med standardbetegnelserne - kateterne hedder a og b, og hypotenusen hedder c - kan det altså formuleres

{$$a^2 + b^2 = c^2$$}