Pythagoras' sætning

Pythagoras' berømte sætning handler om forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Den siger følgende:

Bevis

Først et rent geometrisk bevis for Pythagoras' sætning.

På nedenstående figur ses fire retvinklede trekanter med kateterne a og b og hypotenusen c arrangeret så de danner et kvadrat med sidelængden a+b. I midten er der herved fremkommet et mindre kvadrat med sidelængden c. Arealet af dette kvadrat er derfor {$c^2$}. Arealet {$c^2$} er altså arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter. Klik nu på figuren for at starte appletten og flyt derefter de røde punkter til højre på figuren (der er to oven på hinanden) over på det sorte punkt til venstre (klik på punkterne for at gribe fat i dem).

Klik for at starte appletten

Flytningen af punkterne og dermed de to trekanter har dannet to nye kvadrater, der som det ses har sidelængderne a og b og altså arealerne {$a^2$} og {$b^2$}. Da summen af disse to arealer {$a^2 + b^2$} også er lig med arealet af det store kvadrat minus det samlede areal af de fire trekanter (ligesom det gjaldt for arealet {$c^2$}) må der gælde, at {$a^2 + b^2 = c^2$}

Et lidt mere stringent bevis kan gennemføres på følgende måde:

Vi tager igen udgangspunkt i figuren ovenfor og beregner arealet af det store kvadrat på to måder.

Beregning 1: Sidelængden i det store kvadrat er a+b og arealet kan derfor beregnes som:

Areal = {$(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + b^2 +2ab$}

Klik for at starte appletten