MatematikB.Grænseværdi History
Hide minor edits - Show changes to markup - Cancel
går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi indsættelse af x=1 i nævneren giver 0, og man kan som bekendt ikke dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi indsættelse af x=1 i nævneren giver 0, og man som bekendt ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 - f(x) er jo ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1. f(x) er dog lig med x+1 for alle andre x-værdier, og derfor vil grænseværdien for x gående mod 1 være den samme for de to udtryk. Det er dog ikke altid muligt at lave en anvendelig omskrivning, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sit CAS-værktøj (TI89).
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\epsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\epsilon$}, da er grænseværdien af {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "går mod".
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse, for eksempel en funktion f(x), "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse, for eksempel x, nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "går mod".
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er {$\varepsilon$} epsilon og {$\delta$} delta, og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen :
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er epsilon ({$\varepsilon$}) og delta ({$\delta$}), og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen) :
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er {$\varepsilon>0$} epsilon og {$\delta>0$} delta, og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen :
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er {$\varepsilon$} epsilon og {$\delta$} delta, og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen :
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde:
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er {$\varepsilon>0$} epsilon og {$\delta>0$} delta, og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen :
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\varepsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\epsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}
{$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=f(x_{0})}$$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og {$f(x_{0})$} bliver mindre end {$\varepsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$f(x_{0})$}
{$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=a}$$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\varepsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}
{$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $$}
{$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-a) \right|<\varepsilon $$}
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89?.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89?.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89?.
(:noleft:) (:noheader:) (:notitle:)
Det er ikke alle udtryk, der har en grænseværdi. For eksempel har funktionen {$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}$} ikke nogen grænseværdi for {$x \rightarrow 0$}. Hvis x nærmer sig 0 fra venstre (altså for negative værdier af x), går f(x) mod {$ -\infty$}, men hvis x nærmer sig 0 fra højre, går f(x) mod {$ \infty$}. Funktionsværdien f(x) går altså ikke mod en bestemt værdi for {$x \rightarrow 0$} og der eksisterer derfor ikke nogen grænseværdi.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89?).
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sin TI89?.
går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi indsættelse af x=1 i nævneren giver 0, og man kan som bekendt ikke dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
Resultatet tyder på, at f(x) mere og mere nærmer sig værdien 2, når x kommer tættere og tættere på værdien 1. Vi siger, at grænseværdien af funktionen f(x) for x gående mod 1 er lig med 2.
Resultatet tyder på, at f(x) kommer tættere og tættere på værdien 2, når x nærmer sig værdien 1. Vi siger, at grænseværdien af funktionen f(x) for x gående mod 1 er lig med 2.
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89).
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89?).
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "gå mod".
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "går mod".
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89).
Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89).
Man kunne fx være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
Man kunne fx være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
I dette eksempel kunne man også beregne grænseværdien ved først at omskrive funktionen: {$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$$} og derefter indsætte x=1 (nu er det jo lovligt) {$$ f(1)=1+1=2$$} Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 (da f(x) ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1), men den kan faktisk bruges i en række tilfælde. Den virker dog ikke altid, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (eller bruge sin TI89).
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærme sig" eller "gå mod".
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "gå mod".
Grænseværdi
Resultatet tyder på, at f(x) går mod værdien 2, når x går mod værdien 1
Grænseværdier opskrives normalt på en af de to følgende måder:
Resultatet tyder på, at f(x) mere og mere nærmer sig værdien 2, når x kommer tættere og tættere på værdien 1. Vi siger, at grænseværdien af funktionen f(x) for x gående mod 1 er lig med 2.
Grænseværdier angives normalt på en af de to følgende måder:
I det ovenstående eksempel kunne vi altså skrive: {$$f(x)\rightarrow 2 \quad for \quad x\rightarrow 1 $$} eller {$$\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)=2}$$}
Grænseværdi på Wikipedia
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta>0$}, så det hvis afstanden mellem ${x og x_{0}$} er mindre end {$\delta>0$} gælder, at afstanden mellem {$f(x) og f(x_{0})$} er mindre end {$\varepsilon$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og {$f(x_{0})$} bliver mindre end {$\varepsilon$}, da er grænseværdien for {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$f(x_{0})$}
Hvis der for ethvert {$\varepsilon>0$} findes et {$\delta>0$} så {$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x(-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $}, så er {$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=f(x_{0})}$}
Eller med ord: For et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes der et andet tal {$\delta>0$}
Hvis der for ethvert {$\varepsilon>0$} findes et {$\delta>0$} så {$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $$} så er {$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=f(x_{0})}$$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta>0$}, så det hvis afstanden mellem ${x og x_{0}$} er mindre end {$\delta>0$} gælder, at afstanden mellem {$f(x) og f(x_{0})$} er mindre end {$\varepsilon$}
For ethvert {$\varepsilon>0$} findes der et {$\delta$} så {$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x(-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $$}
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde:
Hvis der for ethvert {$\varepsilon>0$} findes et {$\delta>0$} så {$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x(-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $}, så er {$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=f(x_{0})}$}
Eller med ord: For et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes der et andet tal {$\delta>0$}
For ethvert {$\varepsilon>0$} findes der et {$\delta$} så {$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x(-f(x_{0}) \right|<\varepsilon $$}
(:cell width=50:)x (:cell width=50:)2 (:cell width=50:)1,1 (:cell width=50:)1,01 (:cell width=50:)1,001 (:cellnr:)f(x) (:cell:)3 (:cell:)2,1 (:cell:)2,01 (:cell:)2,001
(:cell width=50 align=center:)x (:cell width=50 align=center:)2 (:cell width=50 align=center:)1,1 (:cell width=50 align=center:)1,01 (:cell width=50 align=center:)1,001 (:cellnr align=center:)f(x) (:cell align=center:)3 (:cell align=center:)2,1 (:cell align=center:)2,01 (:cell align=center:)2,001
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi.
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
(:table allign=center border=1 cellspacing=0 width=50%:) (:cell width=100:)x (:cell:)2 (:cell:)1,1 (:cell:)1,01 (:cell:)1,001
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærme sig" eller "gå mod".
Man kunne fx være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
(:table align=center border=1 cellspacing=0 width=50%:) (:cell width=50:)x (:cell width=50:)2 (:cell width=50:)1,1 (:cell width=50:)1,01 (:cell width=50:)1,001
Resultatet tyder på, at f(x) går mod værdien 2, når x går mod værdien 1
(:table border=1 cellspacing=0 width=50%:) (:cell:)x
(:table allign=center border=1 cellspacing=0 width=50%:) (:cell width=100:)x
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1).
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
(:cell:)sdfsf (:cell:) (:cell:) (:cell:)
(:cell:)2 (:cell:)1,1 (:cell:)1,01 (:cell:)1,001
(:cell:) (:cell:)
(:cell:)3 (:cell:)2,1 (:cell:)2,01 (:cell:)2,001
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien x=1).
(:table border=1 cellspacing=0:) (:cell:)sdfasdf
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1).
(:table border=1 cellspacing=0 width=50%:) (:cell:)x
(:cellnr:)f(x)
(:cell:)
(:table border=1 celldist=0:)
(:table border=1 cellspacing=0:)
(:table border=1 cellpadding=0:)
(:table border=1 celldist=0:) (:cell:)sdfasdf (:cell:)sdfsf
(:cell:) (:cell:)
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0).
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien x=1).
(:table border=1 cellpadding=0:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:cell:) (:tableend:)
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig", når en anden størrelse nærmer sig en bestemt værdi.
Fx kunne man være interesseret i at bestemme hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x nærmer sig værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0).
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse nærmer sig (går mod) en bestemt værdi.
Fx kunne man være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0).
Fx kunne man være interesseret i at bestemme hvilken værdi brøken {$\frac{x^2-1}{x-1}$}
Fx kunne man være interesseret i at bestemme hvilken værdi funktionen {$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$} går mod, når x nærmer sig værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi man ikke kan dividere med 0).
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning, men kan være lidt vanskeligt at få helt styr på.
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme den værdi, som en bestemt størrelse "nærmer sig", når en anden størrelse nærmer sig en bestemt værdi.
Fx kunne man være interesseret i at bestemme hvilken værdi brøken {$\frac{x^2-1}{x-1}$}
(:cell valign=center:)læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b
(:cell valign=center:)læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er lig med b
(:cell:){$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$}
(:cell width=50%:){$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$}
(:table align=center width=90%:)
(:table align=center width=70%:)
(:table align=center width=90% border=1:)
(:table align=center width=90%:)
{$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$} (læses: f(x) går mod b, når x går mod a)
{$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=b}$$} (læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b)
(:table align=center width=90% border=1:) (:cell:){$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$} (:cell valign=center:) læses: f(x) går mod b, når x går mod a (:cellnr:){$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=b}$$} (:cell valign=center:)læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b (:tableend:)
(læses: Grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b)
(læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b)
{$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$} (læses: f(x) går mod b, når x går mod a)
{$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=b}$$} (læses: Grænseværdien af f(x) for x gående mod a er b)
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning, men kan være lidt vanskeligt at få helt styr på.
Grænseværdier opskrives normalt på en af de to følgende måder: