Grænseværdi
Grænseværdi er et vigtigt matematisk begreb, der bl.a. anvendes i differentialregning. Det går overordnet set ud på at bestemme hvilken værdi en størrelse, for eksempel en funktion f(x), "nærmer sig" (går mod), når en anden størrelse, for eksempel x, nærmer sig (går mod) en bestemt værdi. I det følgende vil vi forsøge at præcisere, hvad der ligger i udtrykkene "nærmer sig" eller "går mod".
Man kunne fx være interesseret i at bestemme, hvilken værdi funktionen {$$ \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$} går mod, når x går mod værdien 1 (læg mærke til, at funktionens værdi ikke kan udregnes for x=1, fordi indsættelse af x=1 i nævneren giver 0, og man som bekendt ikke kan dividere med 0 - funktionen er ikke defineret for x-værdien 1). Man kunne så prøve at udregne f(x) for en række x-værdier, der ligger tættere og tættere på 1 som vist i nedenstående tabel
| x | 2 | 1,1 | 1,01 | 1,001 |
| f(x) | 3 | 2,1 | 2,01 | 2,001 |
Resultatet tyder på, at f(x) kommer tættere og tættere på værdien 2, når x nærmer sig værdien 1. Vi siger, at grænseværdien af funktionen f(x) for x gående mod 1 er lig med 2.
I dette eksempel kunne man også beregne grænseværdien ved først at omskrive funktionen: {$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$$} og derefter indsætte x=1 (nu er det jo lovligt) {$$ f(1)=1+1=2$$} Denne teknik virker måske lidt suspekt, for strengt taget er f(x) jo ikke lig med x+1 - f(x) er jo ikke er defineret for x=1, en begrænsning som ikke gælder for udtrykket x+1. f(x) er dog lig med x+1 for alle andre x-værdier, og derfor vil grænseværdien for x gående mod 1 være den samme for de to udtryk. Det er dog ikke altid muligt at lave en anvendelig omskrivning, og så må man ty til andre metoder, som vi ikke skal komme nærmere ind på her (se evt. l'Hospitals regel). Og selvfølgelig kan man altid bruge sit CAS-værktøj (TI89).
Det er ikke alle udtryk, der har en grænseværdi. For eksempel har funktionen {$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}$} ikke nogen grænseværdi for {$x \rightarrow 0$}. Hvis x nærmer sig 0 fra venstre (altså for negative værdier af x), går f(x) mod {$ -\infty$}, men hvis x nærmer sig 0 fra højre, går f(x) mod {$ \infty$}. Funktionsværdien f(x) går altså ikke mod en bestemt værdi for {$x \rightarrow 0$} og der eksisterer derfor ikke nogen grænseværdi.
Grænseværdier angives normalt på en af de to følgende måder:
| {$$f(x)\rightarrow b \quad for \quad x\rightarrow a$$} | læses: f(x) går mod b, når x går mod a |
| {$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=b}$$} | læses: grænseværdien af f(x) for x gående mod a er lig med b |
I det ovenstående eksempel kunne vi altså skrive: {$$f(x)\rightarrow 2 \quad for \quad x\rightarrow 1 $$} eller {$$\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)=2}$$}
En formel definition af grænseværdibegrebet kan formuleres på følgende måde (de græske bogstaver, der bruges, er epsilon ({$\varepsilon$}) og delta ({$\delta$}), og definitionen kaldes derfor epsilon-delta definitionen) :
Hvis der for ethvert {$\varepsilon>0$} findes et {$\delta>0$} så {$$\left| x-x_{0} \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-a) \right|<\varepsilon $$} så er {$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)=a}$$}
Eller med ord: Hvis der for et vilkårligt (lille) tal {$\varepsilon$} findes et andet tal {$\delta$}, så det hvis afstanden mellem {$x$} og {$x_{0}$} er mindre end {$\delta$} gælder, at afstanden mellem {$f(x)$} og et tal {$a$} bliver mindre end {$\epsilon$}, da er grænseværdien af {$f(x)$} for {$x$} gående mod {$x_{0}$} lig med {$a$}