1. Et tal, som udtrykket på den ene side af lighedstegnet ganges med, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal divideres med det
2. Et tal, som udtrykket på den ene side af lighedstegnet divideres med, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal ganges med det

{$$2x+3=13$$}

Vi starter altså med at dividere med 2

NB! Læg mærke til, at der er tale om præcis de samme regneregler, som blot bruges lidt anderledes, så man kan spare lidt skriveri.

Lad os prøve at bruge regnereglerne i den omvendte rækkefølge

Eksempler

Flere eksempler

I eksemplerne ovenfor kunne ligningerne løses ved blot at bruge en af regnereglerne en enkelt gang. Ofte vil den ligning, der skal løses, dog være mere kompliceret, så det er nødvendigt at bruge flere af regnereglerne. Kunsten er så at overskue, hvilke regler der skal bruges og i hvilken rækkefølge, så udregningerne bliver så enkle som muligt.

Lad os se på ligningen

{$$2x+3=13$$}

Her kunne vi begynde med at flytte tretallet over på den anden side, hvor det skal trækkes fra

{$$2x=13-3$$}

{$$2x=10$$}

og derefter flytte totallet over og dividere med det

{$$x=\frac{10}{2}$$}

{$$x=5$$}

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstre side af lighedstegnet, er lig med det, der står på højre side - er enten sand eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, er ligningen falsk. Hvis (og kun hvis) x er lig med 2, er ligningen sand.

Da {$-2+2=0$} fås

som giver

og da {$+3-3=0$} fås

som giver

Når tretallerne på venstresiden forkortes væk fås

Når totallerne på venstresiden forkortes væk fås

En ligning er et matematisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn (deraf navnet) og en variabel (nogen gange flere). Et eksempel er:

Princippet i fremgangsmåden er at omskrive ligningen ved hjælp af regneregler, som sikrer, at den nye omskrevne ligning har samme løsning som den oprindelige ligning. Målet med omskrivningerne er at nå frem til en ligning, hvor den ubekendte (som regel x) er blevet isoleret (står alene) på den ene side af lighedstegnet, da det der står på den anden side så vil være løsningen. Følgende regneregler kan bruges ved omskrivningerne.

I praksis er det ofte lettere at anvende en modificeret version af regnereglerne:

1. Et tal som i ligningen bliver lagt til på den ene side af lighedstegnet, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal trækkes fra
2. Et tal som i ligningen bliver trukket fra på den ene side af lighedstegnet, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal lægges til
3. Et tal, som der ganges med på den ene side af lighedstegnet, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal divideres med det
4. Et tal, som der divideres med på den ene side af lighedstegnet, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal ganges med det

(:noleft:) (:noheader:) (:notitle:)

I praksis er det ofte lidt lettere at anvende en lettere modificeret version af regnereglerne:

{$$x+3=5$$}

Hvorfor gælder regnereglerne?

At løse en ligning vil sige at finde den værdi (eller eventuelt de værdier), som gør ligningen sand. I eksemplet har vi altså løst ligningen, når vi har fundet frem til, at x=2.

Hvorfor gælder regnereglerne

• Eksponentielle Ligninger
• Andengradsligninger

Andre typer af ligninger: Eksponentielle Ligninger
Andengradsligninger

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstresiden, er lig med det, der står på højresiden - er enten sand eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, er ligningen falsk. Hvis (og kun hvis) x er lig med 2, er ligningen sand.

(:table width=80% align=center border=1 cellspacing=0 cellpadding=5:)

(:table width=80% align=center border=0 cellspacing=0 cellpadding=5:)

Regneregler for lineære ligninger (metode 1)

Regneregler for lineære ligninger (metode 2)

(:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :)

(:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :)

Regneregler for lineære ligninger (version 2)

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) Regneregler for lineære ligninger

(:tableend:)

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) '''Regneregler for lineære ligninger (version 2)

(:tableend:)

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstresiden, er lig med det, der står på højresiden - er enten sand eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, er ligningen falsk. Hvis x derimod er lig med 2, er ligningen sand.

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstresiden, er lig med det, der står på højresiden - er enten sand eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, så er ligningen falsk. Hvis x derimod er lig med 2, så ses det, at ligningen er sand.

Lineære ligninger

{$$x=2 \cdot 3$$}

Eksempel 4

Løs ligningen {$2x=8$}

(:table width=80% align=center border=1 cellspacing=0 cellpadding=5:) (:cellnr width=50% align=center:) Metode1 (:cell align=center:) Metode 2 (:cellnr:) {$$2x=8$$} Divider med 2 på begge sider {$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} $$} {$$x=4$$}

(:cell:) {$$2x=8$$} Flyt 2 over og divider {$$x=\frac{8}{2}$$} {$$x=4$$}

(:tableend:)

Løs ligningen {$\displaystyle \frac{x}{3}=2$}

Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstresiden, er lig med det, der står på højresiden - er enten sandt eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x for eksempel er lig med 5 eller 12 eller -4, så er ligningen falsk. Hvis x derimod er lig med 2, så ses det, at ligningen er sand.

(:cellnr:)

(:cellnr:)

Eksempel 3

Løs ligningen {$\frac{x}{3}=2$}

(:table width=80% align=center border=1 cellspacing=0 cellpadding=5:) (:cellnr width=50% align=center:) Metode1 (:cell align=center:) Metode 2 (:cellnr:) {$$\frac{x}{3}=2$$} Gang med 3 på begge sider {$$\frac{x}{3}\cdot 3 = 2 \cdot 3 $$} {$$x=6$$}

(:cell:) {$$\frac{x}{3}=2$$} Flyt 3 over og gang med det {$$x=2 \cdot 3$} Som giver {$$x=6$$}

(:tableend:)

Ganger parentesen ud

Flytter 3 over og dividerer

Løs ligningen {$\displaystyle \frac{5x-4}{2} = x-3$} {$$\frac{5x-4}{2} = x-3$$} Vi flytter 2 over og ganger {$$5x-4 = 2 \cdot (x-3)$$} Vi ganger parentesen ud {$$5x-4 = 2x-6$$} Samler x'erne på samme side {$$5x-2x = -6+4$$} {$$3x = -2$$} Endelig flytter vi 3 over og dividerer {$$x = -\frac{2}{3}$$}

(:toggle div=ligningereksempler init=hide lshow="Flere eksempler" lhide="Skjul eksempler":)

(:toggle div=ligningereksempel init=hide lshow="Flere eksempler" lhide="Skjul eksempler":)

{$$x+3-3=5-3$$}

Eksempel 2

Vi vil løse ligningen {$x+3=5$}

(:table width=80% align=center border=1 cellspacing=0 cellpadding=5:) (:cellnr width=50% align=center:) Metode1 (:cell align=center:) Metode 2 (:cellnr width=50%:) {$$x-2=3$$} Her trækker vi 3 fra på begge sider {$$x+3-3=3-3$$} Og får {$$x=2$$}

(:cell:) {$$x+3=5$$} Vi flytter tallet 3 over på den anden side, hvor det skal trækkes fra {$$x=5-3$$} Som giver {$$x=2$$}

(:tableend:)

Vi flytter tallet 2 over på den anden side, hvor det skal lægges til

I praksis er det ofte lidt lettere at anvende en lidt anden version af regnereglerne:

1. Hvis et tal bliver lagt til på den ene side, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal trækkes fra
2. Hvis et tal bliver trukket fra på den ene side, må man flytte det over på den anden side, hvor det så skal lægges til
3. Et tal, som der ganges med på den ene side, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal divideres med det
4. Et tal, som der divideres med på den ene side, må flyttes over på den anden side, hvor der så skal ganges med det

(:tableend:)

test

Vi vil løse ligningen {$x-2=3$}

{$$x-2=3$$}

{$$x-2=3$$}

(:table width=80% align=center border=1 cellspacing=0 cellpadding=5:) (:cellnr width=50% align=center:) Metode1 (:cell align=center:) Metode 2

(:cellnr width=50%:)

(:table width=80% center border=1 :)

Princippet i fremgangsmåden er at omskrive ligningen ved hjælp af regneregler, som sikrer, at den nye omskrevne ligning har samme løsning som den oprindelige ligning. Målet med omskrivningerne er at nå frem til en ligning, hvor den ubekendte (som regel x) er blevet isoleret (står alene) på den ene side af lighedstegnet, da det der står på den anden side så vil være løsningen. Nedenstående regneregler kan bruges ved omskrivningerne.

Eksempel 1

Vi vil løse ligningen {$$x-2=3$$} (:table width=80% center:) (:cellnr width=40%:) Vi lægger tallet 2 til på begge sider {$$x-2+2=3+2$$} Som giver {$$x=5$$}

(:cell:) Vi flytter -2 over på den anden side, hvor det bliver til +2 {$$x=3+2$$} Som giver {$$x=5$$}

(:tableend:)

En ligning er et matematisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn (deraf navnet) og en (eller nogen gange flere) variable. Et eksempel er:

Nogle ligninger - som den ovenfor - er så simple, at man kan gætte sig til løsningen. Det er dog langtfra altid tilfældet, og det er derfor vigtigt at lære andre metoder til at løse ligninger. Der findes mange forskellige typer af ligninger, som kræver forskellige løsningsmetoder, men her vil vi bare se på løsning af såkaldte lineære ligninger, hvori der ikke optræder potenser eller rødder eller det, der er værre.

Regneregler

1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet
2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet
3. Man må gange med det samme tal (dog ikke tallet 0) på begge sider af lighedstegnet
4. Man må dividere med det samme tal (dog ikke tallet 0) på begge sider af lighedstegnet

En ligning er et matematisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn (deraf navnet) og en (eller nogen gange flere) variable. Et eksempel kunne være: {$$x+3=5$$} Den sammenhæng, som ligningen udtrykker - altså at det, der står på venstresiden, er lig med det, der står på højresiden - er enten sandt eller falsk. Vi siger normalt bare, at ligningen er sand eller falsk. I eksemplet ovenfor afhænger det af værdien af x, om ligningen er sand eller falsk. Hvis x fx er lig med 5 eller 12 eller -4, så er ligningen falsk. Hvis x derimod er lig med 2, så ses det, at ligningen er sand.

At løse en ligning vil sige at finde den eller eventuelt de værdier, som gør ligningen sand. I eksemplet har vi altså løst ligningen, når vi har fundet frem til, at x=2.

Nogle ligninger - som den ovenfor - er så simple, at man kan gætte sig til løsningen. Det er dog langtfra altid tilfældet, og det er derfor vigtigt at lære andre metoder til at løse ligninger.

Ligninger

En ligning er et matematisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn (deraf navnet) og en (eller nogen gange flere) variable.