|
|
Hide minor edits - Show changes to markup - Cancel
October 19, 2012, at 02:39 AM
by 89.239.216.135 -
Changed lines 25-31 from:
Hvis et polynomium {$p(x)$} har n rødder kan det faktoriseres i n faktorer af formen {$(x-r_i)$}, hvor {$r_i$}'erne er løsninger. Når disse n faktorer ganges sammen, bliver der et led med {$x^n$}, og der vil altså mindst være tale om et polynomium af n'te grad. Heraf følger selvfølgelig, at et n'te gradspolynomium højst kan have n rødder.
to:
Hvis et polynomium {$p(x)$} har n rødder kan det faktoriseres i n faktorer af formen {$(x-r_i)$}, hvor {$r_i$}'erne er rødder. Når disse n faktorer ganges sammen, bliver der et led med {$x^n$}, og der vil altså mindst være tale om et polynomium af n'te grad. Heraf følger selvfølgelig, at et n'te gradspolynomium højst kan have n rødder.
October 19, 2012, at 02:38 AM
by 89.239.216.135 -
Changed lines 29-41 from:
(:toggle div=andet button=0 init=hide lshow="Supplerende materiale" lhide="Skjul Supplerende materiale":)
(:youtube UxAiqx_NOYI width=800 height=450:)
to:
May 27, 2011, at 05:05 PM
by 87.58.31.236 -
Changed lines 34-36 from:
(:youtube sTtW-q4H7uY width=800 height=450:)
to:
(:youtube UxAiqx_NOYI width=800 height=450:)
May 22, 2011, at 06:00 PM
by 87.58.31.236 -
Added lines 27-41:
(:toggle div=andet button=0 init=hide lshow="Supplerende materiale" lhide="Skjul Supplerende materiale":)
(:youtube sTtW-q4H7uY width=800 height=450:)
March 06, 2011, at 11:49 PM
by 87.58.31.236 -
Changed lines 21-22 from:
- Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
to:
- Samme argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
June 09, 2010, at 06:17 PM
by 87.58.31.118 -
Changed lines 21-22 from:
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
to:
- Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
June 09, 2010, at 06:17 PM
by 87.58.31.118 -
Changed lines 17-20 from:
Hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er lig med nul. Hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv.
Heraf følger at andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} højst har 2 rødder (hvis det havde flere ville {$p^{n-1}$} nødvendigvis have mere end en rod, og det ved vi jo ikke er tilfældet).
to:
- Hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er lig med nul. Hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv.
- Heraf følger at andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} højst har 2 rødder (hvis det havde flere ville {$p^{n-1}$} nødvendigvis have mere end en rod, og det ved vi jo ikke er tilfældet).
June 09, 2010, at 06:16 PM
by 87.58.31.118 -
Changed lines 13-16 from:
#Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
#Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
to:
- Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
- Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
June 09, 2010, at 06:16 PM
by 87.58.31.118 -
Changed lines 13-16 from:
Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
to:
#Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
#Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
June 09, 2010, at 06:16 PM
by 87.58.31.118 - June 09, 2010, at 06:15 PM
by 87.58.31.118 -
Added line 3:
March 08, 2010, at 03:24 AM
by 87.58.29.131 -
Changed lines 22-23 from:
to:
Det kan også ses på følgende måde:
Hvis et polynomium {$p(x)$} har n rødder kan det faktoriseres i n faktorer af formen {$(x-r_i)$}, hvor {$r_i$}'erne er løsninger. Når disse n faktorer ganges sammen, bliver der et led med {$x^n$}, og der vil altså mindst være tale om et polynomium af n'te grad. Heraf følger selvfølgelig, at et n'te gradspolynomium højst kan have n rødder.
March 07, 2010, at 11:46 PM
by 87.58.29.131 -
Changed lines 10-11 from:
Et n'te grads polynomium har højst n rødder, hvilket ses af følgende argument:
to:
Et n'te grads polynomium har højst n rødder, hvilket ses af følgende lille argument:
March 07, 2010, at 11:43 PM
by 87.58.29.131 -
Added lines 8-9:
March 07, 2010, at 11:42 PM
by 87.58.29.131 -
Changed lines 14-19 from:
Andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} har så højst 2 rødder. Det er selvfølgelig velkendt fra teorien om andengradspolynomier, men det følger også af det mere generelle forhold, at hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er nul, hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv. Hvis andengradspolynomiet således havde tre eller flere rødder ville 1'ste grads polynomiet altså have mindst to rødder, og det ved vi jo ikke er tilfældet.
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} har højst 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
to:
Hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er lig med nul. Hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv.
Heraf følger at andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} højst har 2 rødder (hvis det havde flere ville {$p^{n-1}$} nødvendigvis have mere end en rod, og det ved vi jo ikke er tilfældet).
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
March 07, 2010, at 11:33 PM
by 87.58.29.131 -
Changed lines 10-16 from:
Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
Andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} har så højst 2 rødder. Det er selvfølgelig velkendt fra teorien om andengradspolynomier, men det følger også af det mere generelle forhold, at hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er nul, hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv. Hvis andengradspolynomiet således havde tre eller flere rødder ville 1'ste grads polynomiet altså have mindst to rødder, og det ved vi jo ikke er tilfældet.
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} har højst 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
to:
Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
Andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} har så højst 2 rødder. Det er selvfølgelig velkendt fra teorien om andengradspolynomier, men det følger også af det mere generelle forhold, at hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er nul, hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv. Hvis andengradspolynomiet således havde tre eller flere rødder ville 1'ste grads polynomiet altså have mindst to rødder, og det ved vi jo ikke er tilfældet.
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} har højst 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
March 07, 2010, at 11:32 PM
by 87.58.29.131 -
Added lines 1-16:
Polynomier
Et polynomium af n'te grad (et n'te grads polynomium) har følgende form:
{$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0$$}
Et n'te grads polyomium er altså et polynomium, hvor variablen x optræder i n'te potens. Heraf følger, at {$a_n \ne 0$} mens de andre koefficienter godt kan være 0.
Et n'te grads polynomium har højst n rødder, hvilket ses af følgende argument:
Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
Andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} har så højst 2 rødder. Det er selvfølgelig velkendt fra teorien om andengradspolynomier, men det følger også af det mere generelle forhold, at hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er nul, hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv. Hvis andengradspolynomiet således havde tre eller flere rødder ville 1'ste grads polynomiet altså have mindst to rødder, og det ved vi jo ikke er tilfældet.
Same argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} har højst 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
|