Polynomier
Et polynomium af n'te grad (et n'te grads polynomium) har følgende form: {$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0$$}
Et n'te grads polyomium er altså et polynomium, hvor variablen x optræder i n'te potens. Heraf følger, at {$a_n \ne 0$} mens de andre koefficienter godt kan være 0.
Antallet af rødder
Et n'te grads polynomium har højst n rødder, hvilket ses af følgende lille argument:
- Lad der være givet et n'te grads polynomium p(x)
- Ved at differentiere polynomiet n-1 gange fås et 1'ste grads polynomium {$p^{n-1}$}(en lineær funktion), der jo som bekendt har en rod (læg mærke til at eksponenten her angiver, hvor mange gange funktionen er blevet differentieret).
- Hvis en differentiabel funktion f har to nulpunkter, vil der være mindst et sted mellem de to nulpunkter, hvor grafen er vandret og f'(x) derfor er lig med nul. Hvis f har tre nulpunkter, vil der være mindst to steder, hvor f'(x)=0 osv.
- Heraf følger at andengradspolynomiet {$p^{n-2}$} højst har 2 rødder (hvis det havde flere ville {$p^{n-1}$} nødvendigvis have mere end en rod, og det ved vi jo ikke er tilfældet).
- Samme argument fortæller os, at tredjegradspolynomiet {$p^{n-3}$} højst har 3 rødder, og fortsætter vi på samme måde følger det, at n'te grads polynomiet {$p$} højst har n rødder.
Det kan også ses på følgende måde:
Hvis et polynomium {$p(x)$} har n rødder kan det faktoriseres i n faktorer af formen {$(x-r_i)$}, hvor {$r_i$}'erne er rødder. Når disse n faktorer ganges sammen, bliver der et led med {$x^n$}, og der vil altså mindst være tale om et polynomium af n'te grad. Heraf følger selvfølgelig, at et n'te gradspolynomium højst kan have n rødder.