Andengradspolynomiet har forskriften:

{$$f(x)=ax^2+bx+c$$}

Ved differentiation fås:

{$$f'(x)=2ax+b$$}

Vi sætter f'(x)=0 og løser ligningen:

{$$ 2ax+b=0 $$}

{$$ 2ax=-b $$}

{$$ x=\frac{-b}{2a} $$}

y-koordinaten findes ved at indsætte det fundne udtryk for x-koordinaten i forskriften:

{$$ y=a \left( \frac{-b}{2a} \right)^2 + b \left( \frac{-b}{2a} \right) +c $$}

{$$ y=a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}

{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}

{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{2b^2}{4a} +\frac{4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{-d}{4a}$$}

Altså har toppunktet koordinaterne:

{$$T= \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right) $$}

Som var det, vi skulle vise. QED

(:table border=1 width=90% cellpadding=10 align=right bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:)

(:tableend:)

Test

Bevis

(:toggle div=parablenstoppunkt init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis":)

Bevis

(:toggle div=parablenstoppunkt init=hide lshow=Bevis lhide="Bevis":)

(:toggle div=parablenstoppunkt init=hide lshow='''Bevis''' lhide="Skjul bevis":)

(:toggle div=parablenstoppunkt init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis":)

(:toggle div=box1 init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis":)

Som var det, vi skulle vise. QED

Som var det, vi skulle vise. QED

y-koordinaten findes ved at indsætte det fundne udtryk for x-koordinaten i forskriften:

{$$ y=\frac{-d}{4a}$$}

Altså har toppunktet koordinaterne:

{$$T= \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right) $$}

QED

Parablens toppunkt

Parablens toppunkt er punktet, hvor parablen har maksimum, hvis a<0 (parablen vender benene nedad), eller minimum, hvis a>0 (parablen vender benene opad). Toppunktet kan findes vha. følgende formel:

{$$T= \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right) $$}

hvor d er diskriminanten {$d=b^2-4ac$}

Bevis

Andengradspolynomiet har forskriften:

{$$f(x)=ax^2+bx+c$$}

Ved differentiation fås:

{$$f'(x)=2ax+b$$}

Vi sætter f'(x)=0 og løser ligningen:

{$$ 2ax+b=0 $$}

{$$ 2ax=-b $$}

{$$ x=\frac{-b}{2a} $$}

Y-koordinaten findes ved at indsætte det fundne udtryk for x-koordinaten i forskriften:

{$$ y=a \left( \frac{-b}{2a} \right)^2 + b \left( \frac{-b}{2a} \right) +c $$}

{$$ y=a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}

{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}

{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{2b^2}{4a} +\frac{4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$}

{$$ y=\frac{-d}{4a}$$}