Parablens toppunkt
Parablens toppunkt er punktet, hvor parablen har maksimum, hvis a<0 (parablen vender benene nedad), eller minimum, hvis a>0 (parablen vender benene opad). Toppunktet kan findes vha. følgende formel:
{$$T= \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right) $$}
hvor d er diskriminanten {$d=b^2-4ac$}
Bevis
Andengradspolynomiet har forskriften:
{$$f(x)=ax^2+bx+c$$}
Ved differentiation fås:
{$$f'(x)=2ax+b$$}
Vi sætter f'(x)=0 og løser ligningen:
{$$ 2ax+b=0 $$}
{$$ 2ax=-b $$}
{$$ x=\frac{-b}{2a} $$}
y-koordinaten findes ved at indsætte det fundne udtryk for x-koordinaten i forskriften:
{$$ y=a \left( \frac{-b}{2a} \right)^2 + b \left( \frac{-b}{2a} \right) +c $$}
{$$ y=a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}
{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{b^2}{2a} +c$$}
{$$ y=\left( \frac{b^2}{4a} \right) - \frac{2b^2}{4a} +\frac{4ac}{4a}$$}
{$$ y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}$$}
{$$ y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$}
{$$ y=\frac{-d}{4a}$$}
Altså har toppunktet koordinaterne:
{$$T= \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right) $$}
Som var det, vi skulle vise. QED