Kontinuitet
En intuitiv (løs) måde at definere kontinuitet på er at sige, at en funktion er kontinuert, hvis dens graf kan tegnes uden at løfte blyanten fra papiret. Grafen skal altså være sammenhængende i den forstand, at der ikke må være huller i den og at den ikke må foretage spring.
En anden måde er at sige, at en funktion er kontinuert, hvis små ændringer i funktionens x-værdier giver små ændringer i dens y-værdier
En mere præcis definition kan dog gives vha. grænseværdibegrebet:
|
En funktion f(x) er kontinuert i punktet {$x_{0}$}, hvis der gælder: {$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}) $$} Altså hvis grænseværdien for f(x), når x går mod {$x_{0}$}, er lig med funktionsværdien i {$x_{0}$} En funktion er kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter i sin definitionsmængde. |
De fleste funktioner man støder på i undervisningen på HF er kontinuerte. Det gælder fx lineære funktioner, eksponentielle funktioner, potensfunktioner, polynomier, logaritmefunktioner, trigonometriske funktioner osv.
En vigtig sætning om kontinuerte funktioner siger:
Hvis en kontinuert funktion f(x) er defineret på et interval {$\left[ a;b \right]$}, hvor a og b har modsatte fortegn, så findes der et punkt c, så f(c)=0
En kontinuert funktion kan altså ikke springe fra en negativ værdi til en positiv værdi (eller omvendt) uden at have værdien 0 ind i mellem (altså uden at skære x-aksen) - et ikke overraskende resultat, da kontinuerte funktioner jo netop ikke kan foretage spring.