To ligninger med to ubekendte
I en sædvanlig ligning er der kun en ubekendt, ofte variablen x, og at løse ligningen vil så sige at finde de værdier af x, som gør ligningen sand. En ligning kan dog godt indeholde mere end en ubekendt, fx de to variable x og y. At løse en sådan ligning ville betyde, at man skulle finde værdier af både x og y, som gør ligningen sand, men det kan ikke lade sig gøre (eller rettere: der vil være uendelig mange løsninger, fordi man til enhver given x-værdi vil kunne finde en y-værdi, der gør ligningen sand - eller omvendt). Når der er to ubekendte er det nødvendigt at have to uafhængige ligninger, hvori de to ubekendte indgår, for at kunne finde en løsning. Det er derfor, man taler om to ligninger med to ubekendte. De to ligninger betegnes også et ligningssystem.
Her er et eksempel: {$$y=x-1$$} {$$y=-x+3$$} Dette ligningssystem har løsningen x=2 og y=1 (det kontrolleres let ved at indsætte de to værdier i ligningerne og se at det passer).
Læg mærke til, at der i dette tilfælde kun er en løsning, som altså betår af både en x-værdi og en y-værdi. Andre typer ligningssystemer kan sagtens have mere end en løsning.
Vi vil her se på to metoder til at løse to ligninger med to ubekendte.
Substitutionsmetoden
Princippet i denne metode er at isolere den ene variabel i den ene ligning og derefter indsætte det opnåede udtryk i den anden ligning. Herved fås en ligning, som kun indeholder den ene variabel, og den løses så med de sædvanlige metoder. Den fundne værdi indsættes endelig i den første ligning for at finde værdien af den anden variabel.
Lad os se på eksemplet ovenfor: {$$y=x-1$$} {$$y=-x+3$$} Her er variablen y allerede isoleret i begge de opgivne ligninger og vi går derfor videre til næste trin. Den første ligning siger, at {$y=x-1$}, og vi indsætter derfor udtrykket {$x-1$} på y's plads i den anden ligning: {$$x-1 = -x+3$$} Nu indeholder ligningen kun x'er, og den kan derfor løses. Vi får {$$x+x = 3+1$$} {$$2x = 4$$} {$$x=2$$} Denne x-værdi indsættes nu i den første ligning: {$$y=2-1$$} {$$y=1$$} Og vi får løsningen x=2 og y=1
Lad os se på endnu et eksempel:
{$$2x+2y=2$$}
{$$3x-y=-9$$}
Her vælger vi at isolere y i den nederste ligning
{$$3x = -9+y$$}
{$$3x+9=y$$}
udtrykket for y indsættes nu i den første ligning
{$$2x+2(3x+9) = 2$$}
Parentesen ganges ud
{$$2x+6x+18 = 2$$}
Og x isoleres
{$$8x+18 = 2$$}
{$$8x = -16$$}
{$$x = -2$$}
Denne værdi for x indsættes i udtrykket for y, som vi udledte fra den første ligning
{$$y = 3 \cdot (-2)+9$$}
{$$y = 3$$}
Løsningen er altså x=-2 og y=3
Lige store koefficienters metode
Denne metode udnytter, at en ligning kan ganges med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Herved kan den ene ligning modificeres, så koefficienten til (tallet der står foran) enten den ene (x) eller den anden (y) variabel får samme værdi i de to ligninger. Derefter trækkes de to ligninger fra hinanden, hvorved der fremkommer en ligning med kun en variabel, som så kan løses på sædvanlig vis. Værdien af den isolerede variabel indsættes så i en af ligningerne, hvorefter værdien af den anden variabel kan findes.
Her er et eksempel:
{$$x+2y=5$$} {$$3x-y=1$$} Vi ganger den første ligning med tre på begge sider af lighedstegnet {$$3(x+2y)=5 \cdot 3$$} {$$3x-y=1$$} Og ganger parentesen ud {$$3x+6y = 15$$} {$$3x-y=1$$} Den nederste ligning trækkes så fra den øverste {$$\quad 3x+6y = 15$$} {$$\underline{\quad 3x-y=1 \quad}$$} {$$\quad \quad 7y = 14$$} Da {$3x-3x=0, 6y-(-y)=7y \text{ og } 15-1=14$} bliver y altså {$$y=2$$} x findes ved at indsætte denne y-værdi i fx den øverste ligning {$$x+2 \cdot 2=5$$} {$$x=1$$} Løsningen er altså {$x=1 \text{ og } y=2$}