Logaritmer

På C-niveau bruges logaritmer normalt blot som et redskab til at løse eksponentielle ligninger, d.v.s. ligninger hvor den ubekendte befinder sig i eksponenten i en potens. I det følgende vil vi gennemgå nogle eksempler fra C-niveau stoffet.

Vi skal udnytte en særlig egenskab ved logaritmer, som kan skrives på følgende måde:

{$$log(a^b) = b \cdot log(a)$$}

Som det ses, er logaritmen til potensen {$a^b$} altså lig med eksponenten {$b$} gange logaritmen til grundtallet {$a$}. Ved at bruge omskrivningen har vi altså fået eksponenten {$b$} "ned" foran logaritmen til {$a$}. Hvis en potens, hvor den ubekendte befinder sig i eksponenten, således indgår i en ligning, gør denne omskrivning det altså muligt at isolere den ubekendte og dermed løse ligningen.

Her er nogle eksempler på brugen af logaritmer til løsning af ligninger:

Formel for fordoblingskonstanten

Fordoblingskonstanten for en voksende eksponentiel funktion er som bekendt den øgning af den uafhængige variabel (typisk x-værdien), som giver en fordobling af den afhængige variabel (typisk y-værdien). Det betyder (se Eksponentielle funktioner), at der gælder:

{$$a^{T_2} = 2$$}

hvor a er fremskrivningsfaktoren for den eksponentielle funktion, og {$T_2$} er fordoblingskonstanten.

Vi forestiller os nu, at {$a$} er givet, og vi ønsker så at finde en formel, vi kan bruge til at beregne {$T_2$}. Vi skal altså isolere {$T_2$} i ovenstående ligning. Vi tager derfor logaritmen på begge sider af lighedstegnet:

{$$log(a^{T_2}) = log(2)$$}

omskriver venstre side v.h.a. regnereglen ovenfor

{$$T_2 \cdot log(a) = log(2)$$}

og isolerer så {$T_2$} ved at dividere med {$log(a)$}

{$$T_2 = \frac{log(2)}{log(a)}$$}

At finde n i kapitalfremskrivningsformlen

Kapitalfremskrivningsformlen skrives normalt på følgende måde:

{$$K_n = K_0 \cdot (1+r)^n$$}

hvor {$K_n$} er saldoen på en konto efter n terminer, {$K_0$} er startbeløbet, {$r$} er rentefoden, og {$n$} er antal terminer.

Vi ønsker nu at finde en formel til at beregne antallet af terminer {$n$}, når de tre andre variable er kendt. Vi skal altså isolere {$n$} i ligningen

{$$K_n = K_0 \cdot (1+r)^n$$}

Vi isolerer først potensen {$(1+r)^n$}

{$$\frac{K_n}{K_0}= (1+r)^n$$}

Nu tager vi så logaritmen på begge sider af lighedstegnet

{$$log\left(\frac{K_n}{K_0}\right)=log((1+r)^n)$$}

og omskriver

{$$log\left(\frac{K_n}{K_0}\right)=n \cdot log(1+r)$$}

Endelig dividerer vi med {$log(1+r)$}

{$$n = \frac{log \left(\frac{K_n}{K_0}\right)}{log(1+r)}$$}

En eksponentiel ligning

Lad os se på et sidste eksempel:

{$$3\cdot 2^x = 10\cdot 0,8^x$$}

Her optræder der to potenser i ligningen, men heldigvis har de samme eksponent. Vi samler potenserne på den ene side og tallene på den anden side

{$$\frac{2^x}{0,8^x} = \frac{10}{3}$$}

bruger en potensregneregel

{$$\left( \frac{2}{0,8} \right)^x = \frac{10}{3}$$}

og er så klar til at tage logaritmen på begges sider

{$$log \left( \left( \frac{2}{0,8} \right)^x \right) = log\left( \frac{10}{3} \right)$$}

bruge regnereglen for logaritmer

{$$x \cdot log \left( \frac{2}{0,8} \right) = log\left( \frac{10}{3} \right)$$}

og endelig dividere

{$$x = \frac{log\left( \frac{10}{3} \right)}{log \left( \frac{2}{0,8} \right)}$$}

og udregne

{$$x \approx 1,31396$$}