og da de to udtryk, som begge er lig med {$h^2$}, selvfølgelig også er lig med hinanden, har vi ligningen

dernæst ganges parentesen ud

{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 - 2bx$$}

(:notitle:)

Vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger

{$$h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; h^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

De to udtryk, som er lig med {$h^2$} er selvfølgelig også lig med hinanden, så vi har ligningen

{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

Vi omformer ligningen, så der står {$a^2$} på venstresiden (som der jo gør i den cosinusrelation, vi er i gang med at udlede)

{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b-x)^2$$}

dernæst udregner vi parentesen

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

Vi isolerer {$h^2$}

{$$h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; h^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

{$$c^2 = h^2 + x^2 \{} og \quad a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

{$$c^2 = h^2 + x^2 \{ } og \quad a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, og vi vælger den, hvor vinkel A indgår:

{$$c^2 = h^2 + x^2 \{ } og \quad a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}

Vi nedfælder højden fra vinkel B og får derved opdelt trekanten i to retvinklede trekanter. Højden deler siden b i to stykker. I trekanten til venstre - den der indeholder vinkel A - kalder vi stykket x, og i den anden trekant - den der indeholder vinkel C - er stykket så b-x (se figuren).

Vi bruger nu Pythagoras's sætning på de to retvinklede trekanter og får udtrykkene:

{$$c^2 = h^2 + x^2 \quad og \quad a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, nemlig den hvor vinkel A indgår:

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}}

Vi ser først på en vilkårlig trekant {$\Delta ABC$}, hvor alle vinkler er spidse (<90 grader):

Vi ser på en trekant {$\Delta ABC$}:

Bevis for cosinusrelationerne