Cosinus- og sinusrelationerne

Bevis for cosinusrelationerne

De tre cosinusrelationer bevises på samme måde, så vi kan nøjes med at bevise en af dem, og vi vælger den, hvor vinkel A indgår:

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}

Del 1

Vi ser først på en vilkårlig trekant {$\Delta ABC$}, hvor vinkel A er spids (<90 grader), så højden fra B falder indenfor trekanten:

Vi nedfælder altså højden fra B og får derved opdelt trekanten i to retvinklede trekanter. Højden deler siden b i to stykker. I trekanten til venstre - den der indeholder vinkel A - kalder vi stykket x, og i den anden trekant - den der indeholder vinkel C - er stykket så b-x (se figuren).

Vi bruger nu Pythagoras's sætning på de to retvinklede trekanter og får udtrykkene:

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; a^2 = h^2 + (b-x)^2$$}

Vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger

{$$h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\; og \;\;\;\; h^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

og da de to udtryk, som begge er lig med {$h^2$}, selvfølgelig også er lig med hinanden, har vi ligningen

{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b-x)^2$$}

Vi omformer ligningen, så der står {$a^2$} på venstresiden (som der jo gør i den cosinusrelation, vi er i gang med at udlede)

{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b-x)^2$$}

og ganger parentesen ud (se kvadratsætningerne)

{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 - 2bx$$}

{$-x^2$} og {$x^2$} går ud med hinanden, og vi får

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bx$$}

Af figuren ovenfor ses at {$x=c \cdot cos(A)$}, og når vi indsætter dette fås

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot cos(A)$$}

som jo var det, vi skulle vise.

Vi har hermed bevist den af cosinusrelationerne, hvor vinkel A indgår, omend beviset kun holder, hvis vinkel A er spids. Et fuldstændig tilsvarende bevis kan gennemføres for de to andre cosinusrelationer, men stadig under forudsætning af, at de relevante vinkler er spidse.

Del 2

Vi vil nu se på situationen, hvor vinkel {$A$} er stump:

Vi nedfælder igen højden fra vinkel B, og den rammer nu forlængelsen af siden b i et punkt, vi kalder D, som ligger udenfor trekanten. Længden af det stykke, som siden b forlænges med kaldes x (altså stykket {$\left | AD \right |$} - se figuren). Vi har derved igen fået dannet to retvinklede trekanter, nemlig trekanterne {$\Delta ABD$} og {$\Delta BCD$}.

Vi bruger nu Pythagoras' sætning på disse to trekanter og får

{$$c^2 = h^2 + x^2 \;\;\;\;\; og \;\;\;\;\; a^2 = h^2 + (b+x)^2$$}

eller når vi isolerer {$h^2$} i de to ligninger

{$$ h^2 = c^2 - x^2 \;\;\;\;\; og \;\;\;\;\; h^2 = a^2 - (b+x)^2$$}

Vi sætter så de to udtryk for {$h^2$} lig med hinanden

{$$c^2 - x^2 = a^2 - (b+x)^2$$}

og isolerer {$a^2$}

{$$a^2 = c^2 - x^2 + (b+x)^2$$}

Dernæst ganger vi parentesen ud

{$$a^2 = c^2 - x^2 + b^2 + x^2 + 2bx$$}

og ser at {$-x^2$} og {$x^2$} spiser hinanden

{$$a^2 = b^2 + c^2 + 2bx$$}

Det fremgår af {$\Delta ABD$} på figuren ovenfor, at {$$x=c \cdot cos(180^{\circ}-A)$$} Figuren til højre viser en enhedscirkel, hvor de to vinkler {$A$} (grøn) og {$180^{\circ}-A$} (rød) er afsat. Det ses, at de to vinklers retningspunkter (skæringer med cirklen) ligger symmetrisk i forhold til y-aksen, hvilket betyder, at cosinus til de to vinkler har samme numeriske størrelse men modsat fortegn. Der gælder med andre ord {$$cos(180^{\circ}-A) = -cos(A)$$} og {$x$} kan derfor skrives {$$x=-c \cdot cos(A)$$}

Ligningen ovenfor kan altså omskrives til

{$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$}

Vi har dermed fuldført beviset for cosinusrelationen, hvor vinkel A indgår, men da fuldstændig tilsvarende beviser naturligvis kan gennemføres for de to andre cosinusrelationer, vil vi også betragte dem som beviste.

Eksempler på anvendelse af cosinusrelationen

Eksempel 1: Beregning af en side, hvis modstående vinkel er kendt

Lad der være givet en trekant ABC med A=80^o, b=5 og c=7 (se tegningen til højre). Find siden a.

Vi skal finde siden a, som ligger overfor den kendte vinkel A. Da vi desuden kender de to andre sider (b og c), kan vi bruge cosinusrelationen på formen {$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$} Vi indsætter de kendte værdier {$$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos(80^o)$$} og finder a {$$a = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos(80^o)}$$} {$$a = 7,86$$}

Eksempel 2: Beregning af en side, hvis modstående vinkel ikke er kendt

En trekant ABC har vinklen A=30^o og siderne {$\left| AB \right| = 4 \text{ og } \left| BC \right| = 2,5$}. Bestem {$\left| AC \right|$}

Vi kender vinkel A og skal derfor bruge cosinusrelationen {$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$$} Vi indsætter de kendte værdier og får {$$2,5^2 = \left| AC \right|^2 + 4^2 - 2 \cdot \left| AC \right| \cdot 4 \cdot cos(30^o)$$} Som omformes til {$$\left| AC \right|^2 - 2 \cdot 4 \cdot cos(30^o) \cdot \left| AC \right| + 4^2-2,5^2 = 0$$} eller {$$\left| AC \right|^2 - 6,9282 \cdot \left| AC \right| + 9,75 = 0$$} Det er en andengradsligning, som har løsningerne {$$\left| AC_1 \right| = 1,964 \text{ og } \left| AC_2 \right| = 4,964 $$}

Der er altså to mulige trekanter, som opfylder de givne betingelser. De to trekanter ({$\triangle ABC_1$} og {$\triangle ABC_2$}) ses på figuren herunder

Eksempel 3: Beregning af vinkler

Trekanten PQR har sidelængderne {$\left| PQ \right| = 3 \text{, } \left| QR \right| = 2$} og {$\left| PR \right| = 2,83$}. Bestem vinklerne i trekanten.

Vi finder først vinkel P (helt tilfældigt - vi kunne lige så godt have valgt en af de to andre vinkler). Vi tager udgangspunkt i cosinusrelationen på følgende form {$$cos(A) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$} Og fordi vi ønsker at finde vinkel P, "oversætter" vi til den givne trekants betegnelser på følgende måde {$$cos(P) = \frac{{\left| PR \right|}^2+{\left| PQ \right|}^2-{\left| QR \right|}^2}{2 \left| PR \right| \left| PQ \right| }$$} Dernæst sætter vi tal ind {$$cos(P) = \frac{2,83^2+3^2-2^2}{2 \cdot 2,83 \cdot 3}$$} Og finder P {$$P = cos^{-1}(\frac{2,83^2+3^2-2^2}{2 \cdot 2,83 \cdot 3})$$} {$$P = 40,0^o$$}

Helt tilsvarende finder vi vinkel Q på følgende måde {$$cos(Q) = \frac{2^2+3^2-2,83^2}{2 \cdot 2 \cdot 3}$$} {$$Q = cos^{-1}(\frac{2^2+3^2-2,83^2}{2 \cdot 2 \cdot 3})$$} {$$Q = 65,4^o$$}

Og endelig findes vinkel R ved at bruge, at vinkelsummen er 180^o {$$R = 180^o - 40,0^o - 65,4^o = 74,6^o$$}

Eksempler på anvendelse af sinusrelationen

Eksempel 1 Beregning af sidelængder

Trekanten ABC har vinklerne A=30^o og B=50^o samt siden a=3. Bestem siden b og siden c

Da vi kender vinkel B, kan vi bruge følgende sinusrelation til at finde b {$$\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)}$$} Vi indsætter de kendte værdier {$$\frac{3}{sin(30^o)} = \frac{b}{sin(50^o)}$$} og isolerer og udregner b {$$b = \frac{3}{sin(30^o)} \cdot sin(50^o)$$} {$$b = 4,60$$}

Når vi skal finde siden c har vi brug for vinkel C, men den findes jo let, når vi kender de to andre vinkler i trekanten {$$C = 180^o - 30^o - 50^o = 100^o$$}

c findes så ved hjælp af følgende sinusrelation {$$\frac{a}{sin(A)} = \frac{c}{sin(C)}$$} {$$\frac{3}{sin(30^o)} = \frac{c}{sin(100^o)}$$} {$$c = \frac{3}{sin(30^o)} \cdot sin(100^o)$$} {$$c = 5,91$$}

Eksempel 2 Beregning af vinkler

Trekanten ABC har vinklen A=35^o samt siderne a=2 og c=3. Bestem vinkel C.

Vi bruger sinusrelationen {$$\frac{sin(A)}{a} = \frac{sin(C)}{c}$$} indsætter {$$\frac{sin(35^o)}{2} = \frac{sin(C)}{3}$$} og isolerer og beregner sin(C) {$$sin(C) = \frac{sin(35^o)}{2} \cdot 3$$} {$$sin(C) = 0,860364654527$$} og finder C {$$C = sin^{-1}(0,860364654527)$$} Lommeregneren giver resultatet {$$C = 59,36^o$$}

Men her er det nødvendigt at være opmærksom på, at der i nogle tilfælde er endnu en løsning. Der er nemlig to værdier af C, som giver {$sin(C) = 0,860364654527$}. Lommeregneren giver en værdi, som er mindre end 90^o (her {$C = 59,36^o$}), men som det fremgår af figuren herunder, hvor situationen er vist i enhedscirklen, vil den vinkel, som fremkommer ved at spejle vinklen {$C = 59,36^o$} i y-aksen, også give {$sin(C) = 0,860364654527$}. Denne vinkel er {$180^o - 59,36^o = 120,64^o$}.

På figuren herunder ses de to trekanter, som svarer til de to vinkler.

I en opgave som denne, skal begge løsninger angives som facit. I andre tilfælde indeholder opgaven oplysninger, som gør, at man kan udelukke den ene løsning. Det kan fx være, at man bliver bedt om at finde enten den spidse eller den stumpe vinkel, eller det kan være, at den stumpe vinkel kan udelukkes, fordi den er for stor (hvis vinkelsummen i trekanten bliver større end 180^o).

De fem trekantstilfælde

Figur	Kendte "stykker"	Beregninger
	Alle tre sider i trekanten er kendte	To vinkler beregnes ved cosinusrelationer Den sidste vinkel beregnes ved vinkelsummen
	To sider og den mellemliggende vinkel er kendte	Den sidste side beregnes ved en cosinusrelation En vinkel beregnes ved en cosinusrelation Den sidste vinkel beregnes ved vinkelsum
	To sider og en ikke mellemliggende vinkel er kendte	En vinkel beregnes ved sinusrelationen (her kan der evt. være to løsninger) Den sidste vinkel beregnes ved vinkelsum Den sidste side beregnes ved sinusrelationen Alternativt kan man begynde med at beregne den manglende side vha. en cosinusrelation (evt. to løsninger). Derefter beregnes en vinkel vha. en cosinusrelation og den sidste vinkel vha. vinkelsummen.
	To vinkler og den mellemliggende side er kendte	Den sidste vinkel beregnes ved vinkelsum De to sidste sider beregnes ved sinusrelationen
	To vinkler og en ikke mellemliggende side er kendte	Den sidste vinkel beregnes ved vinkelsum De to sidste sider beregnes ved sinusrelationen