Figuren herunder illustrerer, hvordan saldoen på en annuitetsopsparing vokser. De nederste mørke søjler viser hvordan summen af indbetalingerne vokser, mens de øverste lysere søjler viser den samlede tilskrevne rente. Summen af indbetalingerne vokser med den samme værdi for hver indbetaling - den vokser lineært - mens den samlede tilskrevne rente vokser med en procentdel af den aktuelle saldo på kontoen - altså med et beløb som hele tiden øges.

Antallet af indbetalinger n af størrelsen b, der skal foretages for at opspare et givet beløb A på en konto med rentefoden r kan beregnes ved hjælp af formlen:

{$$n = \frac{log(\frac{A \cdot r}{b} +1)}{log(1+r)}$$}

Find r

Altså konkluderer vi:

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) Antallet n af indbetalinger af størrelsen b, der skal foretages for at opspare et givet beløb A på en konto med rentefoden r kan beregnes ved hjælp af formlen:

{$$n = \frac{log(\frac{A \cdot r}{b} +1)}{log(1+r)}n$$}

(:tableend:)

Figuren herunder illustrerer, hvordan saldoen på en annuitetsopsparing vokser. De nederste mørke søjler viser hvordan summen af indbetalingerne vokser, mens de øverste lysere søjler viser den samlede tilskrevne rente. Summen af indbetalingerne vokser med den samme værdi for hver indbetaling - den vokser lineært - mens den samlede tilskrevne rente vokser med en procentdel af den aktuelle saldo på kontoen - et beløb som hele tiden øges.

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, og man kommer let til at taste forkert, men heldigvis findes der en simpel formel, man kan bruge i stedet.

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.buhlweb.dk/matwiki/pub/applets/" archive="geogebra.jar" width="584" height="440" MAYSCRIPT filename="/pub/applets/ggbfiler/opsparing.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/opsparing.png" clickalign="center":)

Figuren herunder illustrerer, hvordan saldoen på en annuitetsopsparing vokser. De nederste mørke søjler viser hvordan summen af indbetalingerne vokser, mens de øverste lysere søjler viser den samlede tilskrevne rente. Summen af indbetalingerne vokser med den samme værdi for hver indbetaling - den vokser lineært - mens den samlede tilskrevne rente vokser med en procentdel af den aktuelle saldo på kontoen - den vokser eksponentielt.

Figuren herunder illustrerer, hvordan saldoen på en annuitetsopsparing vokser. De nederste mørke søjler viser hvordan summen af indbetalingerne vokser, mens de øverste lysere søjler viser den samlede tilskrevne rente

Figuren herunder illustrerer, hvordan saldoen på en annuitetsopsparing vokser. De nederste mørke søjler

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.buhlweb.dk/matwiki/pub/applets/" archive="geogebra.jar" width="584" height="440" MAYSCRIPT filename="/pub/applets/ggbfiler/opsparing.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/opsparing.png" clickalign="center":)

{$$\frac{A \cdot r}{b} = (1+r)^n - 1$$}

så flytter vi ettallet

{$$\frac{A \cdot r}{b} +1 = (1+r)^n$$}

Nu tager vi logaritmen på begge sider, fordi vi derved kan få n ned fra eksponenten

{$$log(\frac{A \cdot r}{b} +1) = log((1+r)^n)$$}

{$$log(\frac{A \cdot r}{b} +1) = n \cdot log(1+r)$$}

Endelig flytter vi {$log(1+r)$} over

{$$\frac{log(\frac{A \cdot r}{b} +1)}{log(1+r)} = n$$}

Find n

Man kunne også være interesseret i at beregne antallet af indbetalinger n, som er nødvendig for at opspare et givet beløb A, hvis hver indbetaling har størrelsen b og rentefoden er r. Vi kan selvfølgelig stadig bruge den samme formel, men nu skal vi altså isolere variablen n:

{$$A = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

Vi kan begynde med at flytte b over på den anden side af lighedstegnet

{$$\frac{A}{b} = \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

Derefter flytter vi r fra nævneren på højresiden

{$$\frac{A}{b} \cdot r = (1+r)^n - 1$$}

Hvis man ønsker at finde størrelsen af den indbetaling b, der skal til for at opspare beløbet A på en konto med rentefoden r og med antallet af indbetalinger n, kan formlen ovenfor modificeres på følgende måde:

Vi kan altså konkludere:

men som bekendt dividerer man jo med en brøk ved at gange med den omvendte:

(:applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.buhlweb.dk/matwiki/pub/applets/" archive="geogebra.jar" width="584" height="440" MAYSCRIPT filename="/pub/applets/ggbfiler/opsparing.ggb" java_arguments="-Xmx512m" framePossible="true" showResetIcon="false" showAnimationButton="true" enableRightClick="false" errorDialogsActive="true" enableLabelDrags="false" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="false" showAlgebraInput="false" clickimg="../MatematikC/opsparing.png" clickalign="center":)

{$$A \cdot \frac{r}{(1+r)^n - 1} = b$$}

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) Den faste indbetaling b, som skal indsættes n gange på en konto med rentefoden r for at få saldoen A, kan findes ved hjælp af formlen:

{$$b = A \cdot \frac{r}{(1+r)^n - 1}$$}

(:tableend:)

{$$A \cdot \frac{r}{(1+r)^n - 1}$$}

{$$\frac{A}{\displaystyle \frac{(1+r)^n - 1}{r}} = b$$}

Hvis man ønsker at finde størrelsen af indbetalingen b og man kender saldoen A, rentefoden r og antallet af indbetalinger n, kan formlen ovenfor modificeres på følgende måde:

{$$A = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

Vi ønsker at isolere b og flytter derfor hele brøken på højresiden over på venstresiden, hvor der så skal divideres med den

{$$\frac{A}{\frac{(1+r)^n - 1}{r}} = b$$}

men som bekendt dividerer man jo med en brøk ved at gange med den omvendte

{$$A = 13279,56$$}

Find b

{$$A =500 \cdot \frac{(1+0,005)^25 - 1}{0,005}$$}

{$$A = 13279,56$$}

Eksempel

Der indsættes 500 kr om måneden på en konto med rentefoden 0,5% pr. måned. Hvad står der på kontoen efter 2 år?

Vi ser at {$b = 500$}, {$r = 0,005$} og {$n=24$} og indsætter i formlen

{$$A =b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

{$$A =500 \cdot \frac{(1+0,005)^24 - 1}{0,005}$$}

{$$A = 12715,98$$}

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, og man kommer let til at taste forkert (), men heldigvis findes der en simpel formel, man kan bruge i stedet.

(:toggle div=lommeregnertrick init=hide lshow="Se dog dette lommeregnertrick" lhide="Skjul lommeregnertrick":)

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, og man kommer let til at taste forkert ((:toggle div=lommeregnertrick init=hide lshow="se dog dette lommeregnertrick" lhide="Skjul lommeregnertrick":)), men heldigvis findes der en simpel formel, man kan bruge i stedet.

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, og man kommer let til at taste forkert (:toggle div=lommeregnertrick init=hide lshow="Se dog dette lommeregnertrick" lhide="Skjul lommeregnertrick":), men heldigvis findes der en simpel formel, man kan bruge i stedet.

{$$A \cdot (1+r) = b \cdot ((1+r)^n + (1+r)^{n-1} + \dots + (1+r)^3 + (1+r)^2 + (1+r))$$}

{$$A \cdot (1+r) - A = b \cdot ((1+r)^n - 1)$$}

idet alle de andre led går ud med hinanden. Vi ganger nu ind i parentesen på venstresiden

{$$A + Ar - A = b \cdot ((1+r)^n - 1)$$}

eller

{$$Ar = b \cdot ((1+r)^n - 1)$$}

Endelig dividerer vi med r og får:

{$$A = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

{$$A \cdot (1+r) = b \cdot ((1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r)^2 + (1+r) + 1) \cdot (1+r)$$}

Eller hvis vi ganger {$(1+r)$} ind i parentesen:

{$$A \cdot (1+r) = b \cdot ((1+r)^n + (1+r)^{n-1} + \dots + (1+r)^3 + (1+r)^2 + (1+r)) \cdot (1+r)$$}

Vi trækker nu {$A$} fra {$A \cdot (1+r)$} og får:

{$$A \cdot (1+r) - A = (1+r)^n - 1$$}

idet alle de andre led går ud med hinanden

{$$A = b \cdot ((1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r)^2 + (1+r) + 1)$$}

Læg mærke til at {$(1+r)$} højst optræder i {$(n-1)$}'te potens (fordi der ikke er tilskrevet renter til den sidste indbetaling)

Vi generaliserer nu denne formel, så den kan bruges til at beregne saldoen A, hvis beløbet b indbetales n gange på en konto med rentefoden r:

Hvis vi ganger {$A$} med {$(1+r)$} fås:

{$$A \cdot (1+r) = b \cdot ((1+r)^n + (1+r)^{n-1} + \dots + (1+r)^2 + (1+r) + 1) \cdot (1+r)$$}

Bevis

NB! Vær opmærksom på, at n er antal indbetalinger - ikke antal terminer.

(:toggle div=bevis init=hide lshow="Bevis" lhide="Skjul bevis":)

NB! Vær opmærksom på,at n er antal inbetalinger - ikke antal terminer.

{$$A =b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$}

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) Hvis der hver termin indbetales et fast beløb {$b$} på en konto , hvor rentefoden (pr. termin) er r, vil saldoen A på kontoen efter n indbtalinger kunne beregnes ved formlen:

{$$A = \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$} (:tableend:)

• Indtast 1000, og tryk enter eller = (herved gemmes tallet 1000 i lommeregnerens hukommelse)
• Tast x1,01 + 1000 og enter eller = (beregner saldoen efter en måned)
• Tast enter eller = det ønskede antal gange (hver gang beregnes saldoen efter endnu en måned)

En annuitetsopsparing er en opsparing, hvor der med faste mellemrum indbetales et fast beløb og tilskrives en fast procentdel i rente. De faste mellemrum kaldes terminer, det faste beløb kaldes indbetalingen og den faste procentdel kaldes rentefoden.

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, og man kommer let til at taste forkert, men heldigvis findes der en simpel formel, man kan bruge i stedet.

En nem måde at udføre beregningen på en lommeregner - her vist med tallene fra ovenstående eksempel:

(:toggle div=lommeregnertrick init=hide lshow="Se dog dette lommeregnertrick" lhide="Skjul lommeregnertrick":)

Hvis man ønsker at beregne saldoen efter et forholdsvist stort antal terminer på sin lommeregner, bliver indtastningsarbejdet lidt træls, men så er det jo "heldigt", at der findes en simpel formel, man kan bruge i stedet.

{$$Saldo = \underbrace{1000}_{1. indbetaling} \cdot 1,01^3 + \underbrace{1000}_{2. indbetaling} \cdot 1,01^2 + \underbrace{1000}_{3. indbetaling} \cdot 1,01 + \underbrace{1000}_{4. indbetaling} = 4060,401$$}

{$$Saldo = \underbrace{1000}_{1. indbetaling} \cdot 1,01^3 + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000 = 4060,401$$}

a^p = a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p\ faktorer}} {$$Saldo = \underbrace{1000 \cdot 1,01^3}_{1. indbetaling med rente} + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000 = 4060,401$$}

En anden måde at beskrive tilvæksten i saldoen på er at se, at der efter fx 3 måneder er blevet tilskrevet renter til den første indbetaling 3 gange, til den anden indbetaling 2 gange og til den tredje indbetaling 1 gang, mens der endnu ikke er tilskrevet renter til den fjerde og sidste indbetaling. Vi kan derfor skrive udregningen af saldoen efter de tre måneder på følgende måde:

En annuitetsopsparing er en opsparing, hvor der med faste mellemrum, såkaldte terminer, indbetales et fast beløb og tilskrives en fast procentdel i rente.

(:cell:)osv. (:cell:)osv.

(:cellnr align=center:)osv.

{$$Saldo = 1000 \cdot (1,01^3 + 1,01^2 + 1,01 + 1) = 4060,401$$}

{$$Saldo = 1000 \cdot 1,01^3 + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000 = 4060,401$$}

Eller hvis vi sætter 1000 uden for parentes:

{$$Saldo = 1000 \cdot (1,01^3 + 1,01^2 + 1,01 + 1000) = 4060,401$$}

Saldoen på kontoen vokser altså som et kombineret resultat af, at der hver måned tilskrives 1% i rente til den foreløbige saldo samt indbetales det faste beløb på 1000kr.

En anden måde at beskrive tilvæksten i saldoen på er at se, at der efter fx 3 terminer er blevet tilskrevet renter til den første indbetaling 3 gange, til den anden indbetaling 2 gange og til den tredje indbetaling 1 gang, mens der endnu ikke er tilskrevet renter til den fjerde og sidste indbetaling. Vi kan derfor skrive udregningen af saldoen på følgende måde:

{$$Saldo = 1000 \cdot 1,01^3 + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000$$}

Saldoen på kontoen vokser altså som et resultat af, at der hver måned tilskrives 1% i rente til den foreløbige saldo samt indbetales det faste beløb på 1000kr.

{$(((1000 \cdot 1,01 + 1000) \cdot 1,01 + 1000) \cdot 1,01 + 1000) \cdot 1,01 + 1000$}

(:cell:){$\vdots$}

(:cell:)Tilskrivning af rente til den foreløbige saldo plus den tredje indbetaling

(:cell:)Tilskrivning af rente til den foreløbige saldo plus den fjerde indbetaling

(:cell:){$3030,1 \cdot 1,01 + 1000 = 4060,401$}

(:cell:){$1000 \cdot 1,01 + 1000 = 2010$}

(:cell:){$2010 \cdot 1,01 + 1000 = 3030,1$}

(:cell:){$3030,1 \cdot 1,01 + 1000 = 460,401$}

{$1000 \cdot 1,01^3 + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000$}

(:table border=0 width=80% cellpadding=10 align=center cellspacing=0 :)

(:cell width=30% align=center:)Udregning af saldo

(:cell width=50% align=center:)Forklaring

(:cell:){$\vdots$}

(:cellnr align=center:){$\vdots$}

(:cellnr align=center:){$\dots$}

(:cellnr width=5% align=center:)Måned

(:cell:)Første indbetaling

(:cell:)Tilskrivning af rente til den første indbetaling plus den anden indbetaling

(:cellnr align=center:)\dots

(:cell width=40% align=center:)Udregning af saldo

(:cell:) (:cellnr align=center:)1

(:cell:) (:cellnr align=center:)2

(:cell:) (:cellnr align=center:)3

(:cell:)

(:cellnr align=center:)0

(:cellnr width=5% align=center:)Termin

(:cellnr:)0

Der indbetales hver måned 1000kr på en konto, hvor der desuden tilskrives en månedlig rente på 1%. Beløbet på kontoen (saldoen) vil da vokse på følgende måde:

(:cell:){$1000 \cdot 1,01^3 + 1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000$} (:cellnr:){$vdots$} (:cell:)

(:cell width=40% align=center:)Forklaring

(:cell width=40% align=center:)Saldo

(:cell width=40% align=center:)

(:cellnr:)1 (:cell:){$1000 \cdot 1,01 + 1000$} (:cellnr:)2 (:cell:){$1000 \cdot 1,01^2 + 1000 \cdot 1,01 + 1000$} (:cellnr:)3 (:cell:){$1000$} (:cellnr:)4 (:cell:){$1000$}

(:table border=0 width=95% cellpadding=10 align=center cellspacing=0 :) (:cellnr width=10% align=center:)Termin

(:cell width=80% align=center:)Saldo

(:cellnr:)0 (:cell:){$1000$}

(:tableend:)

En annuitetsopsparing er en opsparing, hvor der med faste mellemrum, såkaldte terminer, indbetales et fast beløb og tilskrives en fast procentdel i rente.

Lad os se på et eksempel:

En annuitetsopsparing er en opsparing, hvor der med faste mellemrum, såkaldte terminer, indbetales et fast beløb og tilskrives en fast procentdel i rente. Lad os se på et eksempel:

Der indbetales hver måned 1000kr på en konto, hvor der desuden tilskrives en månedlig rente på 1%. Beløbet på kontoen (saldoen) vokser på følgende måde:

(:noleft:) (:noheader:) (:notitle:)

Annuitetsopsparing