(:noleft:) (:noheader:) (:notitle:)

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis" button=1:)

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=show lshow=Bevis lhide="Skjul bevis" button=1:)

Udvidelse til potenser med rationale eksponenter

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$} (af og til ses også skrivemåden 3e3). Læg mærke til, at {$\times 10^3$} blot angiver, at der skal sættes tre nuller efter tretallet eller sagt på en anden måde, at kommaet - som man skal forestille sig står bag tretallet - rykkes tre pladser til højre. Notationen kommer selvfølgelig først til sin ret ved større tal end 3000. Fx vejer jorden {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} kg, hvilket altså kan skrives {$5,9737 \times 10^{24}$} kg.

Strengt taget er tal som fx {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} og {$5,9737 \times 10^{24}$} ikke helt ens, idet det første tal har 25 betydende cifre, mens det andet kun har 5 (alle nullerne tælles altså ikke med). Da man garanteret ikke har bestemt jordens vægt med 25 betydende cifres nøjagtighed, er det altså i dette tilfælde både mere bekvemt og mere korrekt at bruge den eksponentielle notation.

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$}. Læg mærke til, at {$\times 10^3$} blot angiver, at der skal sættes tre nuller efter tretallet eller sagt på en anden måde, at kommaet - som man skal forestille sig står bag tretallet - rykkes tre pladser til højre. Notationen kommer selvfølgelig først til sin ret ved større tal end 3000. Fx vejer jorden {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} kg, hvilket altså kan skrives {$5,9737 \times 10^{24}$} kg.

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$}. Læg mærke til, at {$\times 10^3$} blot angiver, at der skal sættes tre nuller efter tretallet eller sagt på en anden måde, at kommaet - som man skal forestille sig står bag tretallet - rykkes tre pladser til højre. Notationen kommer selvfølgelig først til sin ret ved større tal end 3000. Fx vejer jorden {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} kg, hvilket altså kan skrives {$5,9737 \times 10^24$} kg.

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$}1 kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$}. Læg mærke til, at {$\times 10^3$} blot angiver, at der skal sættes tre nuller efter tretallet eller sagt på en anden måde, at kommaet - som man skal forestille sig står bag tretallet - rykkes tre pladser til højre. Notationen kommer selvfølgelig først til sin ret ved større tal end 3000. Fx vejer jorden {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} kg, hvilket altså kan skrives {$5,9737 \times 10^24$} kg.

Når eksponentiel notation skal bruges til at skrive meget små tal udnyttes det at {$\displaystyle 10^{-n} = \frac{1}{10^n}$}. At gange med {$10^{-n}$} er altså det samme som at dividere med {$10^n$}. Fx er {$\displaystyle 0,003 = 3 \cdot 0,001 = \frac{3}{1000} = 3 \times 10^{-3}$}. Igen kommer notationen rigtig til sin ret ved meget små tal. En elektron vejer fx {$1,109 \times 10^{-3}$} kg

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$}. Læg mærke til, at {$\times 10^3$} blot angiver, at der skal sættes tre nuller efter tretallet eller sagt på en anden måde, at kommaet - som man skal forestille sig står bag tretallet - rykkes tre pladser til højre. Notationen kommer selvfølgelig først til sin ret ved større tal end 3000. Fx vejer jorden {$5.973.700.000.000.000.000.000.000$} kg, hvilket altså kan skrives {$5,9737 \times 10^24$} kg.

Når eksponentiel notation skal bruges til at skrive meget små tal udnyttes det at {$10^{-n} = \frac{1}{10^n}$}. At gange med {$10^{-n}$} er altså det samme som at dividere med {$10^n$}. Fx er {$0,003 = 3 \cdot 0,001 = \frac{3}{1000} = 3 \times 10^{-3}$}.

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 \times 10^3$}.

Eksponentiel notation

Meget store og meget små tal skrives ofte med eksponentiel notation. Tallet {$3000$} kan fx skrives som {$3 \cdot 1000$}, og da {$1000$} jo kan skrives som {$10^3$} kan {$3000$} altså skrives {$3 \cdot 10^3$} eller som det oftest ses {$3 x 10^3$}.

Potenser

Rødder

(:tableend:)

n'te rod

Den n'te rod af et tal er tilsvarende det tal, som ganget med sig selv n gange giver det første tal. Fx er {$\sqrt[3]{27} = 3$} fordi {$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$}. {$\sqrt[n]{a}$} er også den positive løsning til ligningen {$x^n=a$}

Potenser

Rødder

Potenser

Rødder

Hvor {$\left|\ \right|$} betyder numerisk værdi

Hvor {$\left| \right|$} betyder numerisk værdi

Hvor {$\left| \right| betyder [[numerisk værdi]]$}

{$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$}

{$$\sqrt{\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$$}

Man kan derfor også sige. at {$\sqrt{a}$} er den positive løsning til ligningen {$x^2=a$}

n'te rod

Den n'te rod af et tal er tilsvarende det tal, som ganget med sig selv n gange giver det første tal. Fx er {$\sqrt[3]{27} = 3$} fordi {$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$}. {$\sqrt[n]{a}$} er også den positive løsning til ligningen {$x^n=a$}

Der gælder følgende regneregler for kvadratrod:

(:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) Regneregler for kvadratrod

Kvadratroden af et produkt {$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$} Kvadratroden af en brøk {$$\sqrt{\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$} Kvadratroden af et tal i anden {$$\sqrt{a^2}= \left|a \right|$$} (:tableend:)

Endelig skal det nævnes, at man også kan definere potenser for irrationale tal - og dermed altså for alle reelle tal - men vi vil ikke her komme nærmere ind på, hvordan det kan gøres.

{$$(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$}

Men det må jo betyde (da {$(\sqrt{3})^2 = 3$} - se kvadratrod), at vi skal definere:

Men det må jo betyde (da {$(\sqrt{3})^2 = 3$} - se ), at vi skal definere:

1. kvadratrod

Definitioner af potenser

Kvadratroden af et tal er det tal, som ganget med sig selv giver det første tal. Fx er {$\sqrt{9} = 3$} fordi {$3 \cdot 3 = 9$}. Der gælder altså:

{$$(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$}

{$$\sqrt{a}^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$}

Endelig skal det nævnes, at man også kan definere potenser for irrationale tal - og dermed altså for alle reelle tal - men vi vil ikke her komme nærmere ind på, hvordan det kan gøres.

Kvadratrod

Kvadratroden af et tal er det tal, som ganget med sig selv giver det første tal. Fx er {$sqrt{9} = 3$} fordi {$3 \cdot 3 = 9$}. Der gælder altså: {$$sqrt{a}^2 = sqrt{a} \cdot sqrt{a} = a$$}

Positiv eksponent:

Eksponent=0

Negativ eksponent

Rational eksponent

Vi har altså følgende definitioner:

(:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:) {$$a^p = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p\ faktorer}}$$} {$$a^0=1$$} {$$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$$} {$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$$}

(:tableend:)

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis" button=1:)

(:toggle div=box1 init=hide button=1:)

(:toggle div=test button=1 :)

(:toggle div=test button=1 init=hide :)

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis" :)

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis" button=1:)

{$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$$}

Rødder

Men det må jo betyde (da {$(\sqrt{3})^2 = 3$}), at vi skal definere:

Mere generelt kan vi definere: {$$a^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{a}$$}

Læg mærke til, at denne definition ikke generelt virker for a<0 (man kan fx ikke tage kvadratroden af et negativt tal).

Lad os til sidst se på potensen {$a^{\frac{p}{q}}$}, hvorom der må gælde: {$$a^{\frac{p}{q}} = a^{p \cdot \frac{1}{q}} = (a^p)^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$$}

{$$(3^{\frac{1}{2}})^2 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^1 = 3$$}

{$$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$}

Eksponent=0:

Udvidelse til potenser med rationale eksponenter

Vi vil udvide potensbegrebet, så det inkluderer potenser med eksponenter, som er rationale tal (dvs. tal som kan skrives som en brøk med heltal i tæller og nævner). Vi ønsker altså at definere potenser som {$a^{\frac{p}{q}}$}, og selvfølgelig på en måde, så de almindelige regneregler stadig gælder.

Lad os først se på et taleksempel, nemlig potensen {$3^{\frac{1}{2}}$}. Der må ifølge regneregel 5 gælde: {$$(3^{\frac{1}{2}})^2 = 3$$} Men det må jo betyde, at {$$3^{\frac{1}{2}} = sqrt{3}$$}

Vi ser på potensen {$a^{\frac{1}{q}}$}. Der må gælde (vi bruger regneregel 5): {$$(a^{\frac{1}{q}})^q = a$$}

Regnereglerne 4 og 5 kan let vises på helt tilsvarende måde.

Udvidelse af potensbegrebet

(:toggle div=enanden init=hide lshow="En anden måde" lhide="Skjul":)

(:toggle div=enandenmåde init=hide lshow="En anden måde" lhide="Skjul":)

{$$a^p = a^0 \cdot a^p$$} Hvoraf det ses, at vi nødvendigvis må definere {$a^0 = 1$}

Negativ eksponent:

Vi sætter p til at være et positivt, helt tal, og kan derfor skrive en potens med negativ eksponent som {$a^{-p}$}. Hvis vi ganger {$a^{-p}$} med {$a^p$} fås {$$a^p \cdot a^{-p} = a^{p-p} = a^0 = 1$$} og dermed får vi følgende definition {$$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$$}

(:toggle div=enandenmåde init=hide lshow=En anden måde lhide="Skjul":)

(:cell align=center:){$2^1$}

(:cellnr:){$2$} (:cell:){$4$}

Det er klart, at vi ganger med 2, hver gang vi går et skridt til højre, eller omvendt at vi dividerer med 2, hver gang vi går et skridt til venstre. Hvis vi fortsætter sekvensen mod venstre, kan vi definere potenser, hvor eksponenten er 0 eller negative heltal

(:cell align=center:){$2^{-3}$}

(:cell:){$\frac{1}{8}$}

Det ses, at vi når frem til de samme definitioner som ved at bruge regnereglerne.

Hvor tallet {$a^p$} altså kaldes en potens, tallet a kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet p kaldes eksponenten. Eksponenten p skal selvfølgelig være et helt tal, som er større end 0.

Ovenstående definition virker som nævnt kun, hvis eksponenten p er et positivt, helt tal. Vi ønsker at udvide potensbegrebet, så p også kan være 0 eller et negativt, helt tal. Hvis det skal give mening, skal det gøres på en måde, så regnereglerne stadig gælder for det udvidede potensbegreb.

Der må naturligvis gælde {$$a^p = a^{0+p}$$} Og dermed ifølge regneregel 1 ovenfor {$$a^p = a^0 cdot a^p$$} Hvoraf det ses, at vi må definere {$a^0 = 1$}

Og regnereglen er dermed bevist

Regnereglen er hermed bevist

De sidste to regneregler kan let vises på tilsvarende måde.

1. Man ganger to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og lægge eksponenterne sammen

2. Man dividerer to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og trække nævnerens eksponent fra tællerens

3. Man ganger to potenser med samme eksponent ved at gange de to grundtal med hinanden og beholde eksponenten

4. Man dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere grundtallene og beholde eksponenten

5. Man opløfter en potens i en ny potens ved at beholde grundtallet og gange eksponenterne med hinanden

1.

2.

3. {$$a^p \cdot b^p = (a \cdot b)^p$$} Venstresiden kan skrives {$$a^p \cdot b^p = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p\ faktorer}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b \cdots b}_{\large{p\ faktorer}}$$} Men da faktorernes orden jo er ligegyldig kan vi lige så godt skrive {$$a^p \cdot b^p = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{\large{p\ faktorer\ (parenteser}}$$} Som selvfølgelig er det samme som {$$(a \cdot b)^p$$}

{$$\frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}^{\large{p-q\ faktorer}}}{1} = a^{p-q}$$}

{$$a^p = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p\ faktorer}}$$}

{$$a^p \cdot a^q = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p\ faktorer}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{q\ faktorer}}$$}

{$$a^{p+q} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{p+q\ faktorer}}$$}

{$$\frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}^{\large{p\ faktorer}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\large{q\ faktorer}}}$$} Vi forkorter nu de q faktorer i nævneren væk med det samme antal faktorer i tælleren (husk at p>q). Der er så p-q faktorer tilbage i tælleren {$$\frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}^{\large{p-q\ faktorer}}}{1} = a^{p-q}}$$}

2. {$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$} Venstresiden kan skrives {$$\frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}^{\large{p\ faktorer}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\large{q\ faktorer}}}$$}

Og højresiden kan skrives {$$a^{p+q} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\large{p+q\ faktorer}}$$} Men de to udtryk er selvfølgelig ens og regnereglen er dermed bevist

{$$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$} Venstresiden kan skrives {$$a^p \cdot a^q = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\large{p\ faktorer}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\large{q\ faktorer}}$$} Men

{$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad p>q \text{, da }p-q \text{ ellers bliver negativ}$$}\\

(:toggle div=potensregnereglerbevis init=hide lshow=Bevis lhide="Skjul bevis":)

{$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad p>q, \text{ da p-q ellers bliver negativ}$$}\\

{$$Dette er en test$$}

1. Man ganger to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og lægge eksponenterne sammen

2. Man dividerer to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og trække nævnerens eksponent fra tællerens {$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad p>q, da p-q ellers bliver negativ$$}
3. Man ganger to potenser med samme eksponent ved at gange de to grundtal med hinanden og beholde eksponenten

4. Man dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere grundtallene og beholde eksponenten

5. Man opløfter en potens i en ny potens ved at beholde grundtallet og gange eksponenterne med hinanden

Men ovenstående definition virker selvfølgelig kun, hvis eksponenten p er et positivt, helt tal. Vi ønsker at udvide potensbegrebet, så p også kan være 0 eller et negativt, helt tal.

P=0:

p negativ helt tal:

Der gælder følgende vigtige regneregler for potenser (regler som selvfølgelig skal kunnes - også i praksis)

\\

Hvor tallet {$a^p$} altså kaldes en potens, tallet a kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet p kaldes eksponenten

Tallet {$a^p$} kaldes en potens, tallet a kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet p kaldes eksponenten

Potenser defineres på følgende måde: {$$a^p = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\large{p\ faktorer}}$$} For eksempel er: {$$2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$}

Tallet {$a^p (2^5)$} kaldes en potens, tallet a (2) kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet p (5) kaldes eksponenten

Der gælder følgende regneregler for potenser (:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:)

Man ganger to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og lægge eksponenterne sammen {$$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$}
Man dividerer to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og trække nævnerens eksponent fra tællerens {$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$}
Man ganger to potenser med samme eksponent ved at gange de to grundtal med hinanden og beholde eksponenten {$$a^p \cdot b^p = (a \cdot b)^p$$}
Man dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere grundtallene og beholde eksponenten {$$\frac{a^p}{b^p} = \Big(\frac{a}{b}\Big)^p$$}
Man opløfter en potens i en ny potens ved at beholde grundtallet og gange eksponenterne med hinanden {$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$$}

Men denne definition virker selvfølgelig kun, hvis p er et positivt, helt tal.

Når man ganger et tal med sig selv fx 5 gange, siger man, at tallet står i femte potens. Ganger vi fx tallet 2 med sig selv 5 gange kan vi skrive:

{$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^5$$}

Tallet {$2^5$} kaldes en potens, tallet 2 kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet 5 kaldes eksponenten

Givet denne definition af potenser kan vi opskrive følgende sekvens

(:cell align=center:){$2^2$} (:cell align=center:){$2^3$} (:cell align=center:){$2^4$} (:cell align=center:){$2^5$} (:cell align=center:){$2^6$}

(:cellnr:){$4$} (:cell:){$8$} (:cell:){$16$} (:cell:){$32$} (:cell:){$64$} (:cell:){$\ldots$} (:tableend:)

Det er klart, at vi ganger med 2, hver gang vi går et skridt til højre, eller omvendt at vi dividerer med 2, hver gang vi går et skridt til venstre. Hvis vi fortsætter sekvensen mod venstre, kan vi definere potenser, hvor eksponenten er 1, 0 eller sågar negative heltal

(:table align=center cellpadding=5:) (:cell align=center:){$\ldots$}

Der gælder følgende vigtige regneregler for potenser (regler som selvfølgelig skal kunnes - også i praksis)

Udvidelse til potenser med rationale eksponenter

(:tableend:)

Husk også at {$$a^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{a}$$} og {$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$$}

{$$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$}\\

{$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$}\\

{$$a^p \cdot b^p = (a \cdot b)^p$$}\\

{$$\frac{a^p}{b^p} = \Big(\frac{a}{b}\Big)^p$$}\\

(:table border=1 width=80% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :)

(:table border=1 width=60% cellpadding=10 align=center bgcolor=#cccc99 cellspacing=0 :) (:cellnr:)

{$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$$}

(:tableend:)

Der gælder følgende vigtige regneregler for potenser (som selvfølgelig skal kunnes - også i praksis)

Man ganger to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og lægge eksponenterne sammen

Man dividerer to potenser med samme grundtal med hinanden ved at beholde grundtallet og trække nævnerens eksponent fra tællerens

Man ganger to potenser med samme eksponent ved at gange de to grundtal med hinanden og beholde eksponenten

Man dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere grundtallene og beholde eksponenten

Man opløfter en potens i en ny potens ved at beholde grundtallet og gange eksponenterne med hinanden

{$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$$}

{$$\frac{a^p}{b^p} = \Big(\frac{a}{b}\Big)^p$$}

{$$(a^p)^q = a^{p cdot q}$$}

Tallet {$2^5$} kaldes en potens, tallet 2 kaldes grundtallet (eller nogle gange "roden") og tallet 5 kaldes eksponenten

(:tableend:)

Der gælder følgende vigtige regneregler for potenser (som selvfølgelig skal kunnes)

{$$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$}

{$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$}

{$$a^p \cdot b^p = (a \cdot b)^p$$}

{$$\frac{a^p}{b^p} = (\frac{a}{b})^p$$}

Tallet {$2^5$} kaldes en potens, tallet 2 kaldes grundtallet og tallet 5 kaldes eksponenten

Tallet {$2^5$} kaldes en potens, tallet 2 kaldes grundtallet og tallet 5 kaldes eksponenten

Givet denne definition af potenser kan vi opskrive følgende sekvens

(:table align=center cellpadding=5:) (:cell align=center:){$2^2$} (:cell align=center:){$2^3$} (:cell align=center:){$2^4$} (:cell align=center:){$2^5$} (:cell align=center:){$2^6$} (:cell align=center:){$\ldots$} (:cellnr:){$4$} (:cell:){$8$} (:cell:){$16$} (:cell:){$32$} (:cell:){$64$} (:cell:){$\ldots$} (:tableend:)

Det er klart, at vi ganger med 2, hver gang vi går et skridt til højre, eller omvendt at vi dividerer med 2, hver gang vi går et skridt til venstre. Hvis vi fortsætter sekvensen mod venstre, kan vi definere potenser, hvor eksponenten er 1, 0 eller sågar negative heltal

(:table align=center cellpadding=5:) (:cell align=center:){$\ldots$} (:cell align=center:){$2^{-2}$} (:cell align=center:){$2^{-1}$} (:cell align=center:){$2^0$} (:cell align=center:){$2^1$} (:cell align=center:){$2^2$} (:cell align=center:){$2^3$} (:cell align=center:){$2^4$} (:cell align=center:){$2^5$} (:cell align=center:){$2^6$} (:cell align=center:){$\ldots$} (:cellnr:){$\ldots$} (:cell:){$\frac{1}{4}$} (:cell:){$\frac{1}{2}$} (:cell:){$1$} (:cell:){$2$} (:cell:){$4$} (:cell:){$8$} (:cell:){$16$} (:cell:){$32$} (:cell:){$64$} (:cell:){$\ldots$} (:tableend:)

Tallet 2 kaldes her grundtallet og tallet 5 kaldes eksponenten

{$$2^2 \quad 2^3 \quad 2^4 \quad 2^5 \quad 2^6 \ldots$$}

Potenser og rødder

Når man ganger et tal med sig selv fx 5 gange, siger man, at tallet står i femte potens. Ganger vi fx tallet 2 med sig selv 5 gange kan vi skrive:

{$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^5$$}

Tallet 2 kaldes her grundtallet og tallet 5 kaldes eksponenten