Brøker

En brøk er et udtryk på formen {$\displaystyle \frac{a}{b}$}, hvor a og b er tal eller matematiske udtryk og den vandrette streg betyder "divideret med". Vi siger altså a divideret med b eller nogen gange bare a over b. Tallet over brøkstregen kaldes tælleren, og tallet under brøkstregen kaldes nævneren (tænk på at nævneren "benævner" de "dele", der tales om, mens tælleren "tæller", hvor mange af delene, der er. I brøken {$\displaystyle \frac{7}{13}$} angiver nævneren 13 altså, at vi taler om trettendedele, mens tælleren 7 angiver hvor mange trettendedele der er)


Eksempler på brøker

{$$\frac{3}{4} \qquad \frac{37}{13} \qquad \frac{a \cdot b^2}{a^2 \cdot c^2} \qquad \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$}


Man støder hele tiden på brøker i matematikken, så man SKAL kunne regne med brøker. Herunder angives en række regneregler, som altså skal trænes, til de sidder på rygmarven.


Brøker som tal

En brøk er jo egentlig et regnestykke (tælleren divideret med nævneren) men kan også opfattes som et tal (resultatet af regnestykket). For eksempel er brøken {$\displaystyle \frac{2}{5}$} jo regnestykket 2 divideret med 5, men den er samtidig også lig med tallet 0,4. Omvendt kan mange tal skrives som en brøk eller rettere som en af uendelig mange brøker. Tallet 2 kan fx skrives: {$$2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} \ osv.$$}

I eksempler som {$\displaystyle \frac{1}{4} = 0,25$} og {$\displaystyle \frac{8}{5} = 1,6$} er brøken lig med en endelig decimalbrøk, dvs. et kommatal med et endeligt antal decimaler. Mange brøker er dog lig med tal med uendelig mange decimaler, altså uendelige decimalbrøker. For eksempel er {$\displaystyle \frac{2}{3} = 0,666...$} og {$\displaystyle \frac{13}{7} = 1,857142857142...$} (prikkerne betyder "fortsæt på samme måde"). Hvis en beregning giver en brøk som resultat, skal man overveje, om man vil angive resultatet på brøkform eller omskrive det til et kommatal. Det første har den fordel, at resultatet altid er eksakt (præcist), men det andet kan gøre det lidt nemmere at vurdere tallets størrelse. Hvis man vælger at omskrive brøken til et kommatal vil det ofte være praktisk at afrunde tallet, hvilket selvfølgelig medfører, at det ikke længere er eksakt. I så fald bør man gøre opmærksom på det ved at bruge "cirka lig med" tegnet {$\approx$} som for eksempel i {$\displaystyle \frac{2}{3} \approx 0,667$}


At forkorte og forlænge brøker

Som det fremgår af ovenstående eksempel kan brøker skrives på flere måder. Et andet eksempel er: {$$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12}$$} Brøkerne kunne fx repræsentere pizzastykker. Hvis 4 personer har købt 3 pizzaer er der selvfølgelig {$\displaystyle \frac{3}{4}$} pizza til hver. Man kunne derfor skære hver pizza i 4 stykker, og der ville så være 3 stykker til hver. Hvis man i stedet valgte at skære hver pizza i 8 stykker, ville der være 6 stykker til hver, hvis man skar dem i 12 stykker var der 9 til hver og så videre. Derfor er {$\displaystyle \frac{3}{4}$}, {$\displaystyle \frac{6}{8}$} og {$\displaystyle \frac{9}{12}$} egentlig den samme brøk (samme værdi) blot skrevet på tre forskellige måder.

Det ses, at forskellen på de to brøker {$\displaystyle \frac{3}{4}$} og {$\displaystyle \frac{6}{8}$} er, at både tæller og nævner er dobbelt så store i den sidste som i den første brøk. Vi kan således komme fra brøken {$\displaystyle \frac{3}{4}$} til brøken {$\displaystyle \frac{6}{8}$} ved at gange både tæller og nævner med 2. Omvendt kan man jo også komme fra {$\displaystyle \frac{6}{8}$} til {$\displaystyle \frac{3}{4}$} ved at dividere både tæller og nævner med 2.

Det gælder generelt, at man kan forlænge en brøk ved at gange med det samme tal i både tæller og nævner og forkorte en brøk ved at dividere med det samme tal i både tæller og nævner.

At gange og dividere en brøk med et tal


En brøk ganges med et tal ved at gange med tallet i tælleren {$$c \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{b}$$} En brøk divideres med et tal ved at gange med tallet i nævneren {$$\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}$$}


Eksempler

At gange en brøk med et tal: {$$3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7}$$} Og at dividere en brøk med et tal: {$$\frac{3}{4}:5 = \frac{3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20}$$}

At lægge brøker sammen og trække brøker fra hinanden

Der gælder følgende regler for addition og subtraktion af brøker, som har samme nævner


Brøker med samme nævner lægges sammen ved at beholde nævneren og lægge tællerne sammen: {$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$} Tilsvarende trækkes en brøk fra en anden brøk med samme nævner ved at beholde nævneren og trække den sidste brøks tæller fra den førstes: {$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$$}


Eksempler

{$$\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1+4}{3} = \frac{5}{3}$$}

{$$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4-2}{3} = \frac{2}{3}$$}


Læg mærke til, at regnereglerne ovenfor naturligvis også gælder "baglæns", så en brøk med flere led i tælleren kan opdeles i flere brøker.

Eksempler

{$$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$}

{$$\frac{3x+5y-2z}{x+y} = \frac{3x}{x+y} + \frac{5y}{x+y} - \frac{2z}{x+y}$$}


Når brøkerne ikke har samme nævner forlænges den ene eller begge brøker, så de får samme nævner - en såkaldt fællesnævner - før de lægges sammen eller trækkes fra hinanden. En fællesnævner kan altid findes ved at gange de to brøkers nævnere med hinanden.


Eksempler

{$$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$$}

Her kan vi bruge den anden brøks nævner (6) som fællesnævner, fordi den første brøks nævner (3) går op i den. Det er altså kun nødvendigt at forlænge den første brøk (med 2), for at de to brøkker får samme nævner og kan lægges sammen.

{$$\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4+9}{24} = \frac{13}{24}$$}

Her kan vi bruge tallet 24 som fællesnævner, fordi begge brøkers nævnere går op i det. Den første brøk forlænges med 4 og den anden med 3 for at få nævneren 24, hvorefter de kan lægges sammen.

{$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$$}

Her bruger vi produktet af de to nævnere som fællesnævner {$3 \cdot 4 = 12$}. Den første brøk skal altså forlænges med 4 og den anden med 3 for at skaffe en fællesnævner, så brøkerne kan lægges sammen.

At gange brøker med hinanden

To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. {$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$}

Eksempel

{$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$}

At dividere med en brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med "den omvendte" (den brøk som fås ved at lade tæller og nævner bytte plads) {$$a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b}$$} Hvis det, der skal divideres med en brøk, selv er en brøk, er det kun den sidste brøk - altså den, der skal divideres med - der skal vendes. {$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$}

Eksempler

{$$3 : \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$$}

{$$\frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$$}


Opgaver

Yderligere materiale