Matematik B - hf-enkeltfag, juni 2013
1. Identitet og formål
1.1. Identitet
Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik er uundværlig i mange erhverv, i naturvidenskab og teknologi, i medicin og økologi, i økonomi og samfundsvidenskab og som grundlag for politisk beslutningstagen. Matematik er samtidig væsentlig i dagligdagen. Den udbredte anvendelse af matematik bunder i fagets abstrakte natur og afspejler den erfaring, at mange vidt forskellige fænomener opfører sig ensartet. Når hypoteser og teorier formuleres i matematikkens sprog, vindes der ofte herved ny indsigt. Matematik har ledsaget kulturens udvikling fra de tidligste civilisationer og menneskenes første overvejelser om tal og form. Videnskabsfaget matematik har udviklet sig i en stadig vekselvirkning mellem anvendelser og opbygning af teori.
1.2. Formål
Gennem undervisningen skal kursisterne opnå indsigt i, hvorledes matematik kan bidrage til at forstå, formulere og behandle problemer inden for forskellige fagområder, såvel som indsigt i matematisk ræsonnement. Herved skal kursisterne blive i stand til bedre at kunne forholde sig til andres brug af matematik samt opnå tilstrækkelige matematiske kompetencer til at kunne gennemføre en videregående uddannelse, hvori matematik indgår. Endvidere skal de opnå kendskab til vigtige sider af matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskab og teknologi.
2. Faglige mål og fagligt indhold
2.1. Faglige mål
Kursisterne skal kunne:
– håndtere simple formler, herunder oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt, kunne redegøre for foreliggende symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse simple problemer med matematisk indhold
– give en statistisk behandling af et talmateriale, gennemføre hypotesetest og kunne formidle konklusioner i et klart sprog
– anvende simple funktionsudtryk i modellering af givne data, kunne foretage simuleringer og fremskrivninger ud fra modellerne samt diskutere rækkevidde af sådanne modeller
– anvende differentialkvotient og stamfunktion for simple funktioner og fortolke forskellige repræsentationer af dem
– redegøre for foreliggende geometriske modeller og løse geometriske problemer
– gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser
– formidle viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder
– anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer, herunder håndtering af mere komplekse formler og bestemmelse af differentialkvotient og stamfunktion for mere komplicerede funktionsudtryk.
2.2. Kernestof
Kernestoffet er:
– regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, ligningsløsning med analytiske og grafiske metoder og med brug af it-værktøjer
– formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt proportionalitet samt lineære sammenhænge, polynomielle sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge mellem variable
– begrebet f (x), karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner: lineære funktioner, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner samt karakteristiske egenskaber ved disse funktioners grafiske forløb, anvendelse af regression på et datamateriale
– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed og marginalbetragtninger, afledet funktion for de elementære funktioner samt differentiation af f + g, f – g og k × f
– monotoniforhold, ekstrema og optimering og sammenhængen mellem disse begreber og differentialkvotient
– stamfunktion for de elementære funktioner, anvendelse af integralregning til arealberegning af punktmængder begrænset af grafer for ikke-negative funktioner
– forholdsberegninger i ensvinklede trekanter og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, modellering.
2.3. Supplerende stof
Kursisterne vil ikke kunne opfylde de faglige mål alene ved hjælp af kernestoffet. Det supplerende stof i faget matematik udfylder ca. 50 timer af uddannelsestiden. Det skal perspektivere og uddybe kernestoffet og i det hele taget udvide den faglige horisont, så kursisterne kan leve op til alle de faglige mål.
Derfor vil det supplerende stof blandt andet omfatte sammenhængende forløb:
– med vægt på ræsonnement og bevisførelse inden for udvalgte emner
– med matematisk modellering
– med statistisk analyse af en opstillet hypotese, diskussion af en stikprøves repræsentativitet, anvendelse af to typer statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller.
3. Tilrettelæggelse
3.1. Didaktiske principper
Undervisningen tilrettelægges med henblik på, at den enkelte kursist når de faglige mål. Kursisternes selvstændige håndtering af matematiske problemstillinger og opgaver skal stå i centrum for undervisningen.
Gennem en eksperimenterende tilgang til matematiske emner, problemstillinger og opgaver skal kursisternes matematiske begrebsapparat og innovative evner udvikles. Dette sker blandt andet ved at tilrettelægge nogle forløb induktivt, så generaliseringer udspringer af konkrete eksempler.
Det eksperimenterende element i matematik kan ikke stå alene. Derfor skal udvalgte emneforløb tilrettelægges, så kursisterne får en klar forståelse af bevisets betydning i matematisk teori.
Den enkelte kursist skal i undervisningen aktivt bruge det matematiske sprog til at formidle sin viden.
Der lægges i undervisningen stor vægt på matematikkens anvendelser, og kursisterne skal se, hvordan de samme matematiske metoder kan anvendes på vidt forskellige fænomener.
Undervisningen tilrettelægges med progression i arbejdsmetoder og fagligt indhold, samtidig med at grundlæggende færdigheder og paratviden fastholdes ved regelmæssigt at blive taget op igen.
CAS-værktøjer skal ikke blot udnyttes til at udføre de mere komplicerede symbolske regninger, men også understøtte færdighedsindlæring og matematisk begrebsdannelse.
3.2. Arbejdsformer
En betydelig del af undervisningen inden for kernestoffet og det supplerende stof tilrettelægges som projektforløb eller større temaopgaver. For hvert større forløb formuleres faglige mål, der tages stilling til arbejdsprocessen, og kursisterne udarbejder et skriftligt produkt, som kan dokumentere de faglige resultater. Efter hvert forløb eller i forbindelse med en repetition demonstreres, hvorledes det faglige stof kan udmøntes i eksamensspørgsmål.
En del af undervisningen tilrettelægges som gruppearbejde med henblik på, at kursisterne udvikler deres matematiske begreber gennem deres indbyrdes faglige diskussion.
Kursistens selvstændige tilegnelse og formidling af forelagte matematiske tekster indgår i arbejdet med den mundtlige dimension.
I undervisningen lægges der betydelig vægt på opgaveløsning som en afgørende støtte for tilegnelsen af begreber, metoder og kompetencer. Løsning af opgaver foregår både i timerne og som hjemmearbejde. En række af projektforløbene og temaopgaverne afrundes med, at kursisterne udarbejder en rapport.
3.3. It
Undervisningen tilrettelægges, så lommeregnere, it og matematikprogrammer indgår som væsentlige hjælpemidler i kursisternes arbejde med begrebstilegnelse og problemløsning. I tilrettelæggelsen indgår træning i at anvende disse hjælpemidler til at udføre beregninger, til symbolsk manipulation af formeludtryk, til håndtering af statistisk datamateriale, til at skaffe sig overblik over grafer, til ligningsløsning og til symbolsk differentiation og integration. Endvidere udnyttes lommeregnere, it og matematikprogrammer i den eksperimentelle tilgang til emner og problemløsning.
3.4. Samspil med andre fag
Hvor det er muligt, lægges der op til, at faget indgår i samspil med andre fag med det formål at tilrettelægge faglige forløb, som indeholder en mere omfattende anvendelse af matematik inden for andre fagområder, som kursisterne har kendskab til.
4. Evaluering
4.1. Løbende evaluering
Både undervisningen og kursisternes faglige udbytte heraf evalueres løbende, blandt andet gennem fremadrettede evalueringssamtaler.
For hvert større projekt- eller emneforløb skal det tydeligt fremgå, hvorledes kursisternes udbytte af forløbet evalueres.
Efter hvert større projekt- eller emneforløb gennemfører lærer og kursister en evaluering af undervisningen, arbejdsformer og fremskridt på vejen mod opfyldelsen af de faglige mål.
Forløb over større emner inden for kernestoffet afrundes normalt med en test til evaluering af de faglige delmål.
Kursisterne afleverer jævnligt skriftlige opgavebesvarelser og rapporter. Besvarelserne rettes og kommenteres af læreren.
4.2. Prøveformer
Der afholdes en centralt stillet skriftlig prøve og en mundtlig prøve.
Den skriftlige prøve
Til den skriftlige prøve gives der fire timer. Det skriftlige eksamenssæt består af opgaver stillet inden for kernestoffet og skal evaluere de tilsvarende faglige mål. Prøven er todelt. Første delprøve skal besvares uden brug af hjælpemidler. Efter udløbet af første delprøve afleveres besvarelsen heraf. Under den anden del af prøven må eksaminanden benytte alle hjælpemidler. Kommunikation med omverdenen er ikke tilladt. Endvidere er brug af internettet ikke tilladt, jf. dog § 15, stk. 2, i den almene eksamensbekendtgørelse. Opgaverne til denne del af prøven udarbejdes ud fra den forudsætning, at eksaminanden råder over et CAS-værktøj, der kan udføre symbolmanipulation, jf. pkt. 3.3.
Den mundtlige prøve
Den mundtlige prøve skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver. De endelige spørgsmål til den mundtlige prøve skal offentliggøres i god tid inden prøven og skal tilsammen dække de faglige mål og det faglige indhold. En betydelig del af eksamensspørgsmålene skal være udformet således, at det er muligt at inddrage projektforløb og temaopgaver med tilhørende kursistrapporter. Spørgsmålene og en fortegnelse over rapporter og undervisningsforløb sendes til censor forud for prøvens afholdelse.
Det enkelte spørgsmål skal udformes med en overskrift, der angiver det overordnede emne for eksaminationen og med konkrete delspørgsmål.
Eksaminationstiden er ca. 30 minutter pr. eksaminand. Der gives ca. 30 minutters forberedelsestid.
Prøven er todelt.
Første del af prøven består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål suppleret med uddybende spørgsmål.
Anden del former sig som en samtale med udgangspunkt i det overordnede emne.
4.3. Bedømmelseskriterier
Bedømmelsen er en helhedsvurdering af, i hvilket omfang eksaminandens præstation lever op til de relevante faglige mål, som de er angivet i pkt. 2.1.
Der lægges vægt på, om eksaminanden:
1) har grundlæggende matematiske færdigheder, herunder:
– kan håndtere matematisk symbolsprog og matematiske begreber
– har kendskab til matematiske metoder og kan anvende dem korrekt
– færdighed i at bruge it-værktøjer hensigtsmæssigt.
2) kan anvende matematik på foreliggende problemer, herunder:
– kan vælge hensigtsmæssige metoder til løsning af forelagte problemer
– kan præsentere et matematisk emne eller en fremgangsmåde ved løsning af et matematisk problem på en klar og overskuelig måde
– kan redegøre for foreliggende matematiske modeller og diskutere deres rækkevidde.
3) har overblik over og kan perspektivere matematik, herunder:
– har indsigt i matematisk teori og selvstændigt kan redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser
– har kendskab til matematikanvendelse inden for et andet fagområde
– kan bevæge sig mellem fagets teoretiske og praktiske sider i forbindelse med modellering og problembehandling.
I en eksamenssituation inddrages de kategorier, som er relevante for pågældende eksamensspørgsmål.
Ved den mundtlige prøve indgår en eventuel rapport ikke i bedømmelsen. Der tages alene hensyn til den mundtlige præstation.
I både den skriftlige og den mundtlige prøve gives der én karakter ud fra en helhedsbedømmelse.