Differentiation af brøk

Bevis:

Vi bruger tretrinsreglen

Trin 1:

Differenskvotienten for funktionen {$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$} opskrives

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}$$}

Trin 2:

Differenskvotienten omskrives. Først samles de to brøker i tælleren på en fælles brøkstreg

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x) }{g(x)\cdot g(x+\Delta x)}}{\Delta x}$$}

{$\Delta x$} og {$g(x)\cdot g(x+\Delta x)$} bytter plads

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}{g(x)\cdot g(x+\Delta x)}$$}

Vi trækker {$f(x)\cdot g(x)$} fra og lægger det til igen (i tælleren)

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}{g(x)\cdot (g(x+\Delta x)}$$}

g(x) og f(x) sættes uden for parentes

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{(f(x+\Delta x)-f(x))\cdot g(x)-f(x)\cdot (g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}{g(x)\cdot (g(x+\Delta x)}$$}

Endelig splittes brøken foroven op i to

{$$a_s=\frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x))}{\Delta x}\cdot g(x)-f(x)\cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}{g(x)\cdot (g(x+\Delta x)}$$}

Trin 3:

Vi ser nu på, hvad der sker, når {$\Delta x$} går mod 0.

Brøken {$\displaystyle \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$} er differenskvotienten for funktionen f og går derfor mod {$f'(x)$}, når {$\Delta x$} går mod 0

Brøken {$\displaystyle \frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$} er differenskvotienten for funktionen g og går derfor mod {$g'(x)$}, når {$\Delta x$} går mod 0

Endelig følger det af, at {$g(x)$} er differentiabel og dermed kontinuert, at {$g(x+\Delta x)$} går mod {$g(x)$}, når {$\Delta x$} går mod 0.

Vi kan hermed konkludere {$$\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)'= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left(a_s \right) = \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$}